Уравнение прямой в общем виде: Y =kX + b, где k - наклон, b - сдвиг. 1) Уравнение прямой ВС. k = (Ay-By)/(Ax-Bx) = (-3 -2)/(6 - 1) = - 1. Сдвиг b определим для точки В(1,2) по формуле By = k*Bx + b или b = By - k*Bx = 2 - (-1)*1 = 3. Окончательно: У(ВС) = - Х + 3 - ОТВЕТ Длина стороны ВС по т. Пифагора. ВС = √[(By-Ay)²+(Bx-Ax)² = √(5²+5²) = 5√2 - ОТВЕТ 2) Уравнение и длина высоты BD. k = (3 - 0)/(6 - (-2)) = - 3/8 - наклон прямой АС к которой надо провести высоту. Сдвиг определим по точке С b = 0 - (-3/8)*(-2) = - 3/4 Уравнение прямой АС: Y(AC) = -3/8*X - 3/4 У высоты коэффициент обратный - перпендикуляр к стороне АС. k1 = - 1/k = 8/3 Сдвиг определим по точке В(1,2). b = 2 - 8/3*1 = - 2/3 Уравнение высоты ВD: Y(ВD) = 8/3*X - 2/3 - ОТВЕТ Координата точки D - решением системы уравнений: а) 8/3*X - 2/3 = Y б)- 3/8*X - 3/4 = Y Координата точки D(0, -3/4) Длина высоты BD по т. Пифагора BD = √(2.75²+1²) = √8.5625 ~ 2.93 - ОТВЕТ 3) Уравнение медианы ВЕ. Координата точки Е - середина по высоте и середина по ширине. Ех = (6 - (-2))/2 = 4 Еу =(-3 -0)/2 = - 1,5. Уравнение прямой ВЕ. k = (-1.5 - 2)/(2 - 1) = -3.5 b = 2 - (-3.5)*1 = 5.5 Окончательно уравнение медианы: Y(BE) = -3.5*X+5.5 - ОТВЕТ 4) Площадь треугольника по формуле S(ABC) = AC*BD/2. Длина стороны АС по т. Пифагора. АС = √(8²+3² = √(64+9) = √73 Площадь треугольника S = 1/2*√73*√8.5625 = 1/2*√625.0625 = 12,5 = S - ОТВЕТ
1. а) Если прямая параллельна оси Ох, то ордината ( у ) в любой точке на этой прямой одинакова и равна 3 => у = 3 ( рис. 1 ) б) Если прямая параллельна оси Оу, то абцисса ( х ) в любой точке на этой прямой одинакова и равна 2 => х = 2 ( рис. 2 )
2. Рисунок 3 3у + 1 = 0 => у = - 1/3 ( зел. прямая ) 3х - у - 2 = 0 => у = 3х - 2 ( фиол. прямая ) Две прямые пересекаются в одной точке, координаты которой являются общими и для первой и для второй прямой. В этой точке абцисса и ордината двух прямых равны => 3х - 2 = - 1/3 3х = 2 - 1/3 3х = 5/3 х = 5/9 ; у = - 1/3 Значит, координаты точки пересечения двух прямых - A( 5/9 ; - 1/3 ) Составим уравнение прямой, проходящей через точку А( 5/9 ; - 1/3 ) параллельно прямой y = x+1. По-первых, у = kx + b - линейная функция, где k - угловой коэффициент. Во-вторых, есть формула, по которой можно составить искомое уравнение прямой, параллельной другой прямой: у - у0 = k • ( x - x0 ) , где А( х0 ; у0 ) y - ( - 1/3 ) = x - 5/9 y + 1/3 = x - 5/9 y = x - 8/9 Составим уравнение прямой, проходящей через точку А( 5/9 ; - 1/3 ) перпендикулярно прямой y = x+1. у - у0 = ( - 1/k ) • ( x - x0 ) , где А( х0 ; у0 ) y - ( - 1/3 ) = - ( x - 5/9 ) y + 1/3 = - x + 5/9 y = - x + 2/9
3. Рисунок 4 y = x - 2 ( оранж. прямая ) x - 5y + 6 = 0 => y = ( x + 6 ) / 5 ( син. прямая ) Найдём координаты точки пересечения этих прямых: х - 2 = ( х + 6 ) / 5 5х - 10 = х + 6 4х = 16 х = 4 у = х - 2 = 4 - 2 = 2 Значит, координаты точки пересечения двух прямых - А( 4 ; 2 ) Диагональ параллелограмма проходит через точку А( 4 ; 2 ) и по условию также через начало координат О( 0 ; 0 ). Получаем уравнение прямой для первой диагонали параллелограмма АС: у = kx , A( 4 ; 2 ) k = y/x = 2/4 = 1/2 => y = x / 2 Точка О( 0 ; 0 ) - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Отложим отрезок ОС, равный отрезку АО => получаем точку С ( - 4 ; - 2 ). Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим уравнение прямой, проходящей через точку С( - 4 ; - 2 ) параллельно прямой y = ( х + 6 ) / 5 у - у0 = k • ( x - x0 ) y - ( - 2 ) = ( 1/5 ) • ( x - ( - 4 ) ) y + 2 = ( 1/5 ) • ( x + 4 ) y = ( x/5 ) + ( 4/5 ) - 2 y = ( x/5 ) - ( 6/5 ) y = ( x - 6 ) / 5 ( фиол. прямая ) Составим уравнение прямой, проходящей через точку C( - 4 ; - 2 ) параллельно прямой y = x - 2. у - у0 = k • ( x - x0 ) у - ( - 2 ) = х - ( - 4 ) у + 2 = х + 4 у = х + 2 ( зел. прямая ) Найдём координаты точки пересечения прямых у = ( х + 6 ) / 5 и у = х + 2: х + 2 = ( х + 6 ) / 5 5х + 10 = х + 6 4х = - 4 х = - 1 у = х + 2 = - 1 + 2 = 1 Значит, координаты точки пересечения двух прямых - В( - 1 ; 1 ) Диагональ параллелограмма проходит через точку В( - 1 ; 1 ) и по условию также через начало координат О( 0 ; 0 ). Получаем уравнение прямой для второй диагонали параллелограмма ВD: у = kx ; B( - 1 ; 1 ) k = y/x = 1/-1 = - 1 y = - x
4. Рисунок 5 x + y = 4 => y = 4 - x ( оранж. прямая ) x - y = 0 => y = x ( фиол. прямая ) Найдём координаты точки пересечения этих прямых: 4 - x = x 2x = 4 x = 2 y = 2 Значит, координаты точки пересечения двух прямых - A( 2 ; 2 ) Составим уравнение прямой, проходящей через точку А( 2 ; 2 ) параллельно прямой у = ( х + 4 ) / 4 ( зел. прямая ): у - у0 = k • ( x - x0 ) у - 2 = ( 1/4 ) • ( х - 2 ) у = ( х - 2 ) / 4 + 2 у = ( х + 6 ) / 4 ( син. прямая )
Y =kX + b, где k - наклон, b - сдвиг.
1) Уравнение прямой ВС.
k = (Ay-By)/(Ax-Bx) = (-3 -2)/(6 - 1) = - 1.
Сдвиг b определим для точки В(1,2) по формуле
By = k*Bx + b или
b = By - k*Bx = 2 - (-1)*1 = 3.
Окончательно: У(ВС) = - Х + 3 - ОТВЕТ
Длина стороны ВС по т. Пифагора.
ВС = √[(By-Ay)²+(Bx-Ax)² = √(5²+5²) = 5√2 - ОТВЕТ
2) Уравнение и длина высоты BD.
k = (3 - 0)/(6 - (-2)) = - 3/8 - наклон прямой АС к которой надо провести высоту.
Сдвиг определим по точке С
b = 0 - (-3/8)*(-2) = - 3/4
Уравнение прямой АС: Y(AC) = -3/8*X - 3/4
У высоты коэффициент обратный - перпендикуляр к стороне АС.
k1 = - 1/k = 8/3
Сдвиг определим по точке В(1,2).
b = 2 - 8/3*1 = - 2/3
Уравнение высоты ВD: Y(ВD) = 8/3*X - 2/3 - ОТВЕТ
Координата точки D - решением системы уравнений:
а) 8/3*X - 2/3 = Y
б)- 3/8*X - 3/4 = Y
Координата точки D(0, -3/4)
Длина высоты BD по т. Пифагора
BD = √(2.75²+1²) = √8.5625 ~ 2.93 - ОТВЕТ
3) Уравнение медианы ВЕ.
Координата точки Е - середина по высоте и середина по ширине.
Ех = (6 - (-2))/2 = 4
Еу =(-3 -0)/2 = - 1,5.
Уравнение прямой ВЕ.
k = (-1.5 - 2)/(2 - 1) = -3.5
b = 2 - (-3.5)*1 = 5.5
Окончательно уравнение медианы: Y(BE) = -3.5*X+5.5 - ОТВЕТ
4) Площадь треугольника по формуле S(ABC) = AC*BD/2.
Длина стороны АС по т. Пифагора.
АС = √(8²+3² = √(64+9) = √73
Площадь треугольника
S = 1/2*√73*√8.5625 = 1/2*√625.0625 = 12,5 = S - ОТВЕТ
б) Если прямая параллельна оси Оу, то абцисса ( х ) в любой точке на этой прямой одинакова и равна 2 => х = 2 ( рис. 2 )
2. Рисунок 3
3у + 1 = 0 => у = - 1/3 ( зел. прямая )
3х - у - 2 = 0 => у = 3х - 2 ( фиол. прямая )
Две прямые пересекаются в одной точке, координаты которой являются общими и для первой и для второй прямой. В этой точке абцисса и ордината двух прямых равны =>
3х - 2 = - 1/3
3х = 2 - 1/3
3х = 5/3
х = 5/9 ; у = - 1/3
Значит, координаты точки пересечения двух прямых - A( 5/9 ; - 1/3 )
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А( 5/9 ; - 1/3 ) параллельно прямой y = x+1.
По-первых, у = kx + b - линейная функция, где k - угловой коэффициент.
Во-вторых, есть формула, по которой можно составить искомое уравнение прямой, параллельной другой прямой:
у - у0 = k • ( x - x0 ) , где А( х0 ; у0 )
y - ( - 1/3 ) = x - 5/9
y + 1/3 = x - 5/9
y = x - 8/9
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А( 5/9 ; - 1/3 ) перпендикулярно прямой y = x+1.
у - у0 = ( - 1/k ) • ( x - x0 ) , где А( х0 ; у0 )
y - ( - 1/3 ) = - ( x - 5/9 )
y + 1/3 = - x + 5/9
y = - x + 2/9
3. Рисунок 4
y = x - 2 ( оранж. прямая )
x - 5y + 6 = 0 => y = ( x + 6 ) / 5 ( син. прямая )
Найдём координаты точки пересечения этих прямых:
х - 2 = ( х + 6 ) / 5
5х - 10 = х + 6
4х = 16
х = 4
у = х - 2 = 4 - 2 = 2
Значит, координаты точки пересечения двух
прямых - А( 4 ; 2 )
Диагональ параллелограмма проходит через точку А( 4 ; 2 ) и по условию также через начало координат О( 0 ; 0 ). Получаем уравнение прямой для первой диагонали
параллелограмма АС:
у = kx , A( 4 ; 2 )
k = y/x = 2/4 = 1/2 => y = x / 2
Точка О( 0 ; 0 ) - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Отложим отрезок ОС, равный отрезку АО => получаем точку С ( - 4 ; - 2 ). Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим уравнение прямой, проходящей через точку С( - 4 ; - 2 ) параллельно прямой y = ( х + 6 ) / 5
у - у0 = k • ( x - x0 )
y - ( - 2 ) = ( 1/5 ) • ( x - ( - 4 ) )
y + 2 = ( 1/5 ) • ( x + 4 )
y = ( x/5 ) + ( 4/5 ) - 2
y = ( x/5 ) - ( 6/5 )
y = ( x - 6 ) / 5 ( фиол. прямая )
Составим уравнение прямой, проходящей через точку C( - 4 ; - 2 ) параллельно прямой y = x - 2.
у - у0 = k • ( x - x0 )
у - ( - 2 ) = х - ( - 4 )
у + 2 = х + 4
у = х + 2 ( зел. прямая )
Найдём координаты точки пересечения прямых у = ( х + 6 ) / 5 и у = х + 2:
х + 2 = ( х + 6 ) / 5
5х + 10 = х + 6
4х = - 4
х = - 1
у = х + 2 = - 1 + 2 = 1
Значит, координаты точки пересечения двух
прямых - В( - 1 ; 1 )
Диагональ параллелограмма проходит через точку В( - 1 ; 1 ) и по условию также через начало координат О( 0 ; 0 ). Получаем уравнение прямой для второй диагонали
параллелограмма ВD:
у = kx ; B( - 1 ; 1 )
k = y/x = 1/-1 = - 1
y = - x
4. Рисунок 5
x + y = 4 => y = 4 - x ( оранж. прямая )
x - y = 0 => y = x ( фиол. прямая )
Найдём координаты точки пересечения этих прямых:
4 - x = x
2x = 4
x = 2
y = 2
Значит, координаты точки пересечения двух
прямых - A( 2 ; 2 )
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А( 2 ; 2 ) параллельно прямой у = ( х + 4 ) / 4 ( зел. прямая ):
у - у0 = k • ( x - x0 )
у - 2 = ( 1/4 ) • ( х - 2 )
у = ( х - 2 ) / 4 + 2
у = ( х + 6 ) / 4 ( син. прямая )