Граф G задан диаграммой. а) составьте для него матрицу инцидентности;
б) постройте матрицу смежности;
в) укажите степени вершин графа;
г) составьте маршрут длиной 5, соединяющий вершину V2 и вершину V5;
д) постройте простой цикл, содержащий вершину V4;
е) определите вид заданного графа.

Для решения данной задачи нам потребуются следующие понятия:

1. Граф: представляет собой совокупность вершин и рёбер, связывающих эти вершины.
2. Вершина: представляет собой отдельную точку в графе.
3. Ребро: представляет собой связь между двумя вершинами графа.
4. Матрица инцидентности: матрица, которая показывает связи между вершинами и рёбрами графа.
5. Матрица смежности: матрица, которая показывает связи между вершинами графа.

Теперь приступим к решению задачи.

а) Для составления матрицы инцидентности мы должны назначить номера ребрам и вершин. В данном случае у нас есть 5 вершин (V1, V2, V3, V4, V5) и 9 рёбер (ребра будут обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g, h, i). Матрица инцидентности будет иметь размерность 5x9, поскольку у нас 5 вершин и 9 рёбер.

Выберем произвольное направление для рёбер и заполним матрицу инцидентности следующим образом:

| | a | b | c | d | e | f | g | h | i |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V1| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| V2| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| V3| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| V4| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| V5| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |

Таким образом, это будет матрица инцидентности для данного графа.

б) Для построения матрицы смежности мы должны определить, есть ли прямая связь между каждой из вершин. Для этого матрица смежности будет квадратной с размерностью 5x5, поскольку у нас 5 вершин.

Заполним матрицу смежности следующим образом:

| | V1| V2| V3| V4| V5|
|---|---|---|---|---|---|
| V1| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| V2| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| V3| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| V4| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| V5| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |

Таким образом, это будет матрица смежности для данного графа.

в) Степенью вершины называется количество рёбер, смежных с данной вершиной. Посчитаем степени вершин для данного графа:

Степень вершины V1: 2
Степень вершины V2: 3
Степень вершины V3: 4
Степень вершины V4: 3
Степень вершины V5: 3

г) Для составления маршрута длиной 5, соединяющего вершину V2 и вершину V5, мы должны найти путь, проходящий через 5 рёбер. В данном случае, один из таких маршрутов может быть: V2 - V3 - V5 - V4 - V3 - V5.

д) Простым циклом называется цикл, в котором все вершины посещаются только один раз, за исключением начальной и конечной, которые совпадают. Для построения простого цикла, содержащего вершину V4, мы должны найти путь, который начинается и заканчивается в V4 и проходит через все вершины, посещая каждую вершину только один раз. В данном случае, один из таких простых циклов может быть: V4 - V3 - V5 - V2 - V1 - V3 - V4.

е) Для определения вида данного графа мы должны проанализировать его характеристики. В данном случае:

- Граф G имеет 5 вершин и 9 рёбер;
- Степень каждой вершины от 2 до 4;
- Все рёбра неориентированные.

Исходя из этих характеристик, можем заключить, что данный граф является неориентированным графом средней плотности.