m18303

09.04.2021 12:35 •  Математика

I(школьный) этап

xlvi олимпиады школьников по .

2019 год г. саратов 8 класе

(2,25 часа или 3 урока)

1. ева написала трёхзначное число, приписала к нему его же, а у полученного шестизначного числа выписала все натуральные делители. докажите, что если екатерина сделает то же для своего трехзначного числа, то не менее восьми делителей в их списках совпадёт.

2. кот матроскин и пёс шарик ездят с постоянными скоростями по круговому

треку длиной 500 м. матроскин обнаружил, что шарик каждые 4 минуты его обгоняет. тогда он вдвое увеличил скорость и теперь уже сам каждые 3 минуты стал обгонять шарика. с какими скоростями ехали матроскин и шарик первоначально?

3. известно, что а + b = 1. найдите значение выражения а3 + b2 + 3ab.

4. в треугольнике авс проведена биссектриса bl. через точку а проведена прямая, перпендикулярная bl, она пересекла отрезок вс в точке d. на луче ва за точкой а отмечена такая точка е, что ae - cd. докажите, что

el = lc.

5. на какой наименьшей квадратной доске можно расставить ферзя, короля, двух слонов, двух коней и две ладьи так, чтобы ни из фигур не била

никакую другую? ​