Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Содержание:
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Угол поворота
Числа
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (
sin
α
) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (
cos
α
) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (
t
g
α
) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (
c
t
g
α
) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от
−
∞
до
+
∞
.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Угол поворота
Начальная точка
A
с координатами (
1
,
0
) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол
α
и переходит в точку
A
1
. Определение дается через координаты точки
A
1
(
x
,
y
).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота
α
- это ордината точки
A
1
(
x
,
y
).
sin
α
=
y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота
α
- это абсцисса точки
A
1
(
x
,
y
).
cos
α
=
х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота
α
- это отношение ординаты точки
A
1
(
x
,
y
) к ее абсциссе.
t
g
α
=
y
x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота
α
- это отношение абсциссы точки
A
1
(
x
,
y
) к ее ординате.
c
t
g
α
=
x
y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (
0
,
1
) и (
0
,
−
1
). В таких случаях выражение для тангенса
t
g
α
=
y
x
просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов
α
.
Тангенс определен для всех углов, кроме
α
=
90
°
+
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
2
+
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
Котангенс определен для всех углов, кроме
α
=
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота
α
". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Ну как бы не совсем то но буквы на свои поменяй и получится
Пошаговое объяснение:
Условие
Из вершины A треугольника ABC опущены перпендикуляры AM и AP на биссектрисы внешних углов B и C.
Докажите, что отрезок PM равен половине периметра треугольника ABC.
Подсказка
Пусть прямые AM и AP пересекают прямую BC в точках K и L. Тогда отрезок KL равен половине периметра исходного треугольника, а MP – средняя линия треугольника AKL.
Решение
Пусть прямые AM и AP пересекают прямую BC в точках K и L. Поскольку высоты BM и CP треугольников ABK и ACL являются их биссектрисами, то эти треугольники равнобедренные, поэтому BK = AB и CL = AC. Значит, отрезок KL равен периметру треугольника ABC.
Высоты BM и CP равнобедренных треугольников ABK и ACL являются их медианами, поэтому точки M и P – середины отрезков AK и AL. Значит, MP – средняя линия треугольника AKL. Следовательно, отрезок MP равен половине отрезка KL, то есть половине периметра треугольника ABC.
Справочник
Тригонометрия
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Содержание:
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Угол поворота
Числа
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (
sin
α
) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (
cos
α
) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (
t
g
α
) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (
c
t
g
α
) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от
−
∞
до
+
∞
.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Угол поворота
Начальная точка
A
с координатами (
1
,
0
) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол
α
и переходит в точку
A
1
. Определение дается через координаты точки
A
1
(
x
,
y
).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота
α
- это ордината точки
A
1
(
x
,
y
).
sin
α
=
y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота
α
- это абсцисса точки
A
1
(
x
,
y
).
cos
α
=
х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота
α
- это отношение ординаты точки
A
1
(
x
,
y
) к ее абсциссе.
t
g
α
=
y
x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота
α
- это отношение абсциссы точки
A
1
(
x
,
y
) к ее ординате.
c
t
g
α
=
x
y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (
0
,
1
) и (
0
,
−
1
). В таких случаях выражение для тангенса
t
g
α
=
y
x
просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов
α
.
Тангенс определен для всех углов, кроме
α
=
90
°
+
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
2
+
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
Котангенс определен для всех углов, кроме
α
=
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота
α
". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Ну как бы не совсем то но буквы на свои поменяй и получится
Пошаговое объяснение:
Условие
Из вершины A треугольника ABC опущены перпендикуляры AM и AP на биссектрисы внешних углов B и C.
Докажите, что отрезок PM равен половине периметра треугольника ABC.
Подсказка
Пусть прямые AM и AP пересекают прямую BC в точках K и L. Тогда отрезок KL равен половине периметра исходного треугольника, а MP – средняя линия треугольника AKL.
Решение
Пусть прямые AM и AP пересекают прямую BC в точках K и L. Поскольку высоты BM и CP треугольников ABK и ACL являются их биссектрисами, то эти треугольники равнобедренные, поэтому BK = AB и CL = AC. Значит, отрезок KL равен периметру треугольника ABC.
Высоты BM и CP равнобедренных треугольников ABK и ACL являются их медианами, поэтому точки M и P – середины отрезков AK и AL. Значит, MP – средняя линия треугольника AKL. Следовательно, отрезок MP равен половине отрезка KL, то есть половине периметра треугольника ABC.