Имеется четыре лампочки, каждая из которых с вероятностью О.5 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При этом дефектная лампочка сразу перегорает и заменяется новой. Составить закон распределения случайной величины Х числа опробованных лампочек. Найти математическое ожидание и дисперсию решить задачу и можно с Объяснением.
Обозначим успехом событие, когда лампочка не имеет дефекта, то есть работает исправно. По условию, вероятность успеха равняется 0.5.
Теперь рассмотрим вероятность того, что первая лампочка окажется исправной. Она равна вероятности успеха и равна 0.5.
Если первая лампочка исправна, то процесс заканчивается и на этом можно остановиться. В этом случае, X = 1.
Если первая лампочка перегорела, то ее заменяют новой и переходят к следующей лампочке. Таким образом, вероятность того, что вторая лампочка исправна, также равна 0.5.
Если вторая лампочка исправна, то процесс заканчивается и X = 2.
Если вторая лампочка перегорела, то ее заменяют новой и переходят к третьей лампочке. Вероятность успеха (третья лампочка исправна) также равна 0.5.
Аналогично, если третья лампочка исправна, то X = 3.
Если третья лампочка перегорела, то ее также заменяют и переходят к четвертой лампочке. Вероятность успеха (четвертая лампочка исправна) равна 0.5.
И наконец, если четвертая лампочка исправна, то X = 4.
Таким образом, закон распределения случайной величины X (числа опробованных лампочек) будет иметь следующий вид:
X = 1 с вероятностью 0.5,
X = 2 с вероятностью (1 - 0.5) * 0.5 = 0.25,
X = 3 с вероятностью (1 - 0.5)^2 * 0.5 = 0.125,
X = 4 с вероятностью (1 - 0.5)^3 * 0.5 = 0.0625.
Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X можно вычислить следующим образом:
E(X) = 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) + 4 * P(X = 4).
Подставляя значения вероятностей, получаем:
E(X) = 1 * 0.5 + 2 * 0.25 + 3 * 0.125 + 4 * 0.0625 = 0.5 + 0.5 + 0.375 + 0.25 = 1.625.
Таким образом, математическое ожидание числа опробованных лампочек равно 1.625.
Дисперсия случайной величины X может быть найдена по формуле:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Для вычисления E(X^2), нужно найти сумму квадратов значений X, умноженных на соответствующие вероятности:
E(X^2) = 1^2 * 0.5 + 2^2 * 0.25 + 3^2 * 0.125 + 4^2 * 0.0625 = 0.5 + 1 + 0.375 + 1 = 2.875.
Теперь можем вычислить дисперсию:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2.875 - (1.625)^2 = 2.875 - 2.640625 = 0.234375.
Таким образом, дисперсия числа опробованных лампочек равна 0.234375.
Пожалуйста, обратитесь ко мне, если у вас возникнут еще вопросы.