Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π.1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.
2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.
3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.
5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x
6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает.
Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точки х= 0.
Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных)
sin x ≈ x.Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05;
sin 2° = sin π • 2 /180 = sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х
| sin x | < | x |. (1)
Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1, a / AОВ = х.Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2
sin х < х.
Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0
| sin x | < | x |.
Наконец, при x = 0
| sin x | = | x |.
Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 11.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).
2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала [ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.
3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус, равный 1/2.
4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03; в) sin (—0,015); г) sin (—2°30').
Я скулить бы не стала по этому поводу, Я ушла б со скулящими ведрами по воду, Полный чайник на пламени стал бы скулить. Я не стала бы слезы по скулам размазывать, Петь я стала бы , сказку ребенку рассказывать, Очень вкусную шутку солить. Ни за чтобы не стала я плакать и маяться, Поднялась бы над этим, как мать поднимается Над разбитой любовью, судьбой, И отсутствует взором, но сердцем присутствует, Грудью кормит, Словами напутствует, Оставаясь прозрачной и голубой. Ни за чтобы не стала я боль эту жгучую Заставлять улыбаться по всякому случаю, Корчить маску счастливее всех, Делать вид, впечатленье такое чудесное, Будто сыплется сверху, как манна небесная, На избранницу божью успех. Нет, подняться над болью, как мать поднимается, И ребенку поет, и в хрусталик сжимается, Оставаясь прозрачною и голубой, Петь! Как предки мои, скрипачи и сапожники, Столяры и портные, врачи и художники, Океаны, туманы, ручьи, пастухи, Звездочеты, матросы, черемухи, птицы
2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.
3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.
5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x
6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает.
Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точки х= 0.
Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных)
sin x ≈ x.Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05;
sin 2° = sin π • 2 /180 = sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х
| sin x | < | x |. (1)
Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1,
a / AОВ = х.Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2
sin х < х.
Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0
| sin x | < | x |.
Наконец, при x = 0
| sin x | = | x |.
Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 11.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).
2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.
3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1/2.
4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (—0,015); г) sin (—2°30').
Я ушла б со скулящими ведрами
по воду,
Полный чайник на пламени стал бы скулить.
Я не стала бы
слезы по скулам размазывать,
Петь я стала бы , сказку ребенку
рассказывать,
Очень вкусную шутку солить.
Ни за чтобы не стала я
плакать и маяться,
Поднялась бы над этим, как мать поднимается
Над
разбитой любовью, судьбой,
И отсутствует взором, но сердцем
присутствует,
Грудью кормит, Словами напутствует,
Оставаясь
прозрачной и голубой.
Ни за чтобы не стала я боль эту жгучую
Заставлять
улыбаться по всякому случаю,
Корчить маску счастливее всех,
Делать
вид, впечатленье такое чудесное,
Будто сыплется сверху, как манна
небесная,
На избранницу божью успех.
Нет, подняться над болью, как
мать поднимается,
И ребенку поет, и в хрусталик сжимается,
Оставаясь
прозрачною и голубой,
Петь! Как предки мои, скрипачи и сапожники,
Столяры
и портные, врачи и художники,
Океаны, туманы, ручьи, пастухи,
Звездочеты,
матросы, черемухи, птицы
Юнна Мориц