Войти Регистрация Спроси ai-bota

Исследовать функции y=0,8x^5-4x^3 на экстремумы и точки перегиба с первой и второй производных

Показать ответ

Ответ:

NOznaniaNO

08.10.2020 05:11

1) Найдем экстремумы функции. Для этого найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0
$y'=(0,8x^5-4x^3)' = 4 x^{4} -12 x^{2}$

Тогда
$4 x^{4} -12 x^{2} = 0 \\ \\ 4 x^{2} (x^{2} -3) = 0 \\ \\ x=0 \ \bigcup \ (x^{2} -3) = 0 \ \Rightarrow \ x = \pm \sqrt{3}$
Получили три точки экстремума

$f'(-2) \ \textgreater \ 0 \ ; \ f'(-1) \ \textless \ 0$
В точке экстремума $x=- \sqrt{3}$ производная меняет знак с "+" на "-" значит это точка максимума.

$f'(-1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(1) \ \textless \ 0$
Производная, проходя через точку х=0 не меняет знак, значит это не точка экстремума, а сама функция убывает.

$f'(1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(2) \ \ \textgreater \ \ 0$
В точке экстремума $x= \sqrt{3}$ производная меняет знак с "-" на "+" значит это точка минимума

2) Найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную у'' и приравняем её к нулю y'' = 0
$y''=(4 x^{4} -12 x^{2} )' = 16 x^{3}-24x$

Тогда
$16 x^{3}-24x =0 \\ \\ 8x(2x^{2}-3) =0 \\ \\ x = 0 \ \bigcup \ (2x^{2}-3) =0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{ \frac{3}{2} }$
Получили три точки.

Найдем значение третьей производной в этих точка
$y''' = (16 x^{3}-24x )' = 48 x^{2} -24$

Тогда
$y''' (0) = 48 *0 -24 = -24 \neq 0$

$y'''( \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0 \\ \\ y'''(- \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0$

Следовательно, в точках $x=- \sqrt{1,5} \ ; \ x=0 \ ; \ x= \sqrt{1,5}$ функция имеет перегиб.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Albina1809

12.09.2020 15:28

На уборке урожая колхозники убрали грядку моркови длинной 250 м за 5 ч.с какой средней скоростью работали колхозники? реши .составь и реши 2 , обратные данной....

maliiii02

12.09.2020 15:28

Упродавца было 12 ящиков с абрикосами, по 3 кг в каждом . когда несколько ящиков с абрикосами было продано, у него осталось 15 кг абрикосов. сколько ящиков с абрикосами он продал...

sdfdsgdfh

12.09.2020 15:28

Папа собрал рыжиков в два раза больше .чем миша , а всего они принесли 78 рыжиков....

jrihdevhdve

12.09.2020 15:28

Невидимые нити в весеннем лесу. составить схему....

рпрситмиср

12.09.2020 15:28

Какое из данных выражений равно: 1/4-корень из 6 1)2+корень из трех 2)4+корень из 6/2 3)4+корень из 6/10 4)-4+корень из 6/2...

Nicky133

12.09.2020 15:28

Стоимость куска шерсти на 192000 руб больше стоимости куска шёлка той же длины. цена шерсти 20 000 руб а шёлка 12000 руб. из 3/4 всего количества шерсти сшили мужские костюмы.сколько...

крошкакартошка14

12.09.2020 15:28

1) для покраски одного квадратного метра стены нужно 2 кг краски. составь выражение для вычисления количества краски в кг, необходимого для покраски стены размером 4мх18м 2)сколько...

Амина19121

12.09.2020 15:28

Какие страны имеют королей, а какие президентов?...

missstelmah2002

13.03.2021 15:28

За это оцекав журнал я решила но неуверена что : подобные слагаемые : 2/3m+1/4a -1/4m+1/2a и еще одно значение вырожения : 0,2(7а -6b) - 0,3(3а - 4b) !...

nastakianka

24.02.2020 10:04

Всундуке 5 монет, из которых 2 золотых и 3 серебряных. пират достает из сундука 2 случайные монеты. какова вероятность того, что обе моне- ты оказались золотыми?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку