Определяем область определения: D(y)=R берем 1 и 2 производную: y'=2*3x^2-6=6x^2-6 y''=6*2x=12x ищем критические точки 6x^2-6=0 x^2-1=0 x^2=1 x1=1 x2=-1 y1=2-6=-4 y2=-2+6=4 ищем интревалы возрастания/убывания и экстремиумы:
определяем точки на которых производная меняет знак: возьмем число, например (-2): 4-1=0 - знак + возьмем число 0: 0-1 - знак (-) возьмем число 2: 4-1 - знак + в точке x=-1 производная меняет знак с + на - , значит это максимум. в точке x=1 производная меняет знак с - на + , значит это минимум. В промежутке (-oo;-1] и [1;+oo) знак +, значит на данном интервале функция возрастает а на [-1;1] - знак (-), значит функция убывает. ищем асимптоты: горизонтальные: lim(x->-oo)(2x^3-6x)=-oo lim(x->oo)(2x^3-6x)=oo значит горизонтальных асимптот у данной функции нет наклонные: lim(x->-oo)((2x^3-6x)/x)=2x^2-6=oo lim(x->oo)((2x^3-6x)/x)=2x^2-6x=oo значит наклонных асимптот у данной функции нет ищем интервалы выпуклости и вогнутости: для этого приравниваем 2 производную к 0: 12x=0 x=0 определяем знаки: возьмем число (-1): -12 - знак минус возьмем число 1: 12 - знак плюс значит функция выпукла на (-oo;0] и вогнута на [0;+oo) определяем четность/нечетность функции: y(-x)=2*(-x)^3-6(-x)=-2x^3+6x=-(2x^3-6x)=-y(x) значит функция нечетная поряделяем точки пересечения с осями координат: x=0; y=0; (0;0) y=0; 2x^3-6x=0 2x(x^2-3)=0 x1=0 (0;0) x^2-3=0 x^2=3 x2=sqrt(3) (sqrt(3);0) x3=-sqrt(3) (-sqrt(3);0) В итоге получаем: функция: y=2x^3-6x область определения: D(y)=R функция нечетная нули: (0;0), (sqrt(3);0) и (-sqrt(3);0) функция непрерывна 1 производная: y=6x^2-6 2 производная: y=12x данная функция не имеет асимптот критические точки: (1;-4) и (-1;4) максимум: (-1;4) минимум: (1;-4) возрастает: (-oo;-1] и [1;+oo) убывает: [-1;1] выпукла: (-oo;0] вогнута: [0;+oo) и строим график:
Возможно, что какие-то пункты объединены/пропущены. Если чего-то не хватает, будет дополнено в комментариях.
берем 1 и 2 производную:
y'=2*3x^2-6=6x^2-6
y''=6*2x=12x
ищем критические точки
6x^2-6=0
x^2-1=0
x^2=1
x1=1
x2=-1
y1=2-6=-4
y2=-2+6=4
ищем интревалы возрастания/убывания и экстремиумы:
определяем точки на которых производная меняет знак:
возьмем число, например (-2):
4-1=0 - знак +
возьмем число 0:
0-1 - знак (-)
возьмем число 2:
4-1 - знак +
в точке x=-1 производная меняет знак с + на
- , значит это максимум.
в точке x=1 производная меняет знак с - на + , значит это минимум.
В промежутке (-oo;-1] и [1;+oo) знак +, значит на данном интервале функция возрастает
а на [-1;1] - знак (-), значит функция убывает.
ищем асимптоты:
горизонтальные:
lim(x->-oo)(2x^3-6x)=-oo
lim(x->oo)(2x^3-6x)=oo
значит горизонтальных асимптот у данной функции нет
наклонные:
lim(x->-oo)((2x^3-6x)/x)=2x^2-6=oo
lim(x->oo)((2x^3-6x)/x)=2x^2-6x=oo
значит наклонных асимптот у данной функции нет
ищем интервалы выпуклости и вогнутости:
для этого приравниваем 2 производную к 0:
12x=0
x=0
определяем знаки:
возьмем число (-1):
-12 - знак минус
возьмем число 1:
12 - знак плюс
значит функция выпукла на (-oo;0] и вогнута на [0;+oo)
определяем четность/нечетность функции:
y(-x)=2*(-x)^3-6(-x)=-2x^3+6x=-(2x^3-6x)=-y(x)
значит функция нечетная
поряделяем точки пересечения с осями координат:
x=0; y=0; (0;0)
y=0; 2x^3-6x=0
2x(x^2-3)=0
x1=0 (0;0)
x^2-3=0
x^2=3
x2=sqrt(3) (sqrt(3);0)
x3=-sqrt(3) (-sqrt(3);0)
В итоге получаем:
функция: y=2x^3-6x
область определения: D(y)=R
функция нечетная
нули: (0;0), (sqrt(3);0) и (-sqrt(3);0)
функция непрерывна
1 производная: y=6x^2-6
2 производная: y=12x
данная функция не имеет асимптот
критические точки: (1;-4) и (-1;4)
максимум: (-1;4)
минимум: (1;-4)
возрастает: (-oo;-1] и [1;+oo)
убывает: [-1;1]
выпукла: (-oo;0]
вогнута: [0;+oo)
и строим график: