ДАНО: Y(x) = x⁴ - 4*x³+ 4*x² .
ИССЛЕДОВАНИЕ:
Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с положительным коэффициентом - примерно парабола и ветви вверх. Должно быть четыре корня.
1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.
D(x) = (-∞;+∞)
2. Нули функции - пересечение с осью ОХ.
Y= x²*(4*x²- 4*x +4) = 0
х₁ =0 и х₃ = 2 Двух других нет.
Пересечение с осью ОУ - Y(0) = 0/
3. Интервалы знакопостоянства/
Положительна: Y>0 X∈(-∞;0)∪(0;2)∪(2;+∞)
Y=0 X=(0;2) - в нулях функции. корней.
4. Поиск экстремумов по первой производная функции .
Y'(x) = 4*x³ -12*x² + 8x = 4*x*(x²- 12*x + 2) = 0
Точки экстремумов: x = 1, x = 2, x = 0
5 Локальные экстремумы:
Ymin(0) = Y(2) = 0, Ymax(1) = 1.
6. Интервалы монотонности.
Убывает: Х∈(-∞;0) ∪ (1;2)
Возрастает: Х∈(0;1) ∪ (2;+∞)
7, Поиск точек перегиба по второй производной
Y"(x) = 12*x² -24х +8 = 0
x₈ ≈ 0.42 и х₉ = 1.58 - точки перегиба.
8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0,42)∪(1.58;+∞) - вне корней.
Выпуклая - "горка" - Х∈(х₈=-0,42;1.58)
График на рисунке в приложении.
ДАНО: Y(x) = x⁴ - 4*x³+ 4*x² .
ИССЛЕДОВАНИЕ:
Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с положительным коэффициентом - примерно парабола и ветви вверх. Должно быть четыре корня.
1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.
D(x) = (-∞;+∞)
2. Нули функции - пересечение с осью ОХ.
Y= x²*(4*x²- 4*x +4) = 0
х₁ =0 и х₃ = 2 Двух других нет.
Пересечение с осью ОУ - Y(0) = 0/
3. Интервалы знакопостоянства/
Положительна: Y>0 X∈(-∞;0)∪(0;2)∪(2;+∞)
Y=0 X=(0;2) - в нулях функции. корней.
4. Поиск экстремумов по первой производная функции .
Y'(x) = 4*x³ -12*x² + 8x = 4*x*(x²- 12*x + 2) = 0
Точки экстремумов: x = 1, x = 2, x = 0
5 Локальные экстремумы:
Ymin(0) = Y(2) = 0, Ymax(1) = 1.
6. Интервалы монотонности.
Убывает: Х∈(-∞;0) ∪ (1;2)
Возрастает: Х∈(0;1) ∪ (2;+∞)
7, Поиск точек перегиба по второй производной
Y"(x) = 12*x² -24х +8 = 0
x₈ ≈ 0.42 и х₉ = 1.58 - точки перегиба.
8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0,42)∪(1.58;+∞) - вне корней.
Выпуклая - "горка" - Х∈(х₈=-0,42;1.58)
График на рисунке в приложении.