gradu • v = (0, 0, 0) • (3, -4, 2) = 0*3 + 0*(-4) + 0*2 = 0
Таким образом, производная функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, равна 0.
В итоге, мы получили, что производная функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, равна 0, а градиент функции u(x,y,z) в точке М0 также равен 0.
Чтобы составить уравнение эллипса, нам необходимо знать его основные характеристики: координаты вершин эллипса и его полуоси.
Дано, что вершины эллипса - А(7;0), А(-7;0), В(0;2), В(0;-2).
1. Найдем координаты центра эллипса. Центр эллипса определяется как точка пересечения диагоналей, проведенных между вершинами А и В.
X-координата центра будет равна среднему арифметическому координат вершин А и В по оси x:
Xцентр = (7 + (-7)) / 2 = 0.
Y-координата центра будет равна среднему арифметическому координат вершин А и В по оси y:
Yцентр = (0 + 0) / 2 = 0.
Таким образом, центр эллипса имеет координаты (0;0).
2. Найдем полуоси эллипса. Полуось a — это расстояние от центра до вершины эллипса по оси x, а полуось b — это расстояние от центра до вершины эллипса по оси y.
Полуось a будет равна расстоянию между центром эллипса и вершиной А или В по оси x:
a = |0 - 7| = 7.
Полуось b будет равна расстоянию между центром эллипса и вершиной В или А по оси y:
b = |0 - 2| = 2.
Таким образом, полуось a равна 7, а полуось b равна 2.
3. Теперь, имея центр эллипса (0;0) и значения полуосей a = 7 и b = 2, мы можем составить уравнение эллипса.
Уравнение эллипса в общем виде имеет вид:
(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1,
где (h; k) - координаты центра эллипса.
Таким образом, уравнение искомого эллипса в общем виде будет x^2 / 49 + y^2 / 4 = 1.
4. Чтобы построить эллипс в системе координат, мы должны нарисовать его на плоскости, используя найденные значения центра и полуосей.
Возьмем прямоугольную систему координат, где ось OX будет горизонтальной, а ось OY — вертикальной. На оси OX отложим точки с координатами (-7;0) и (7;0), а на оси OY - точки с координатами (0;2) и (0;-2).
Затем, используя эти точки, построим эллипс, соединяя их дугами. Радиусы дуг будут равны полуосям a и b в соответствуюшим направлениям. У эллипса ветви могут быть направлены в любую сторону от центра, поэтому на рисунке следует отобразить обе ветви.
Производная по x:
∂u/∂x = 2xze^(x^2+y^2+z^2)
Производная по y:
∂u/∂y = 2yze^(x^2+y^2+z^2)
Производная по z:
∂u/∂z = (2z+2z) * e^(x^2+y^2+z^2) = 4ze^(x^2+y^2+z^2)
Теперь, найдем градиент функции u(x,y,z), который представляет собой вектор из частных производных функции:
gradu = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)
Таким образом, градиент функции u(x,y,z) в точке M0(0;0;0) будет равен:
gradu = (2 * 0 * 0 * e^(0^2+0^2+0^2), 2 * 0 * 0 * e^(0^2+0^2+0^2), 4 * 0 * e^(0^2+0^2+0^2))
= (0, 0, 0)
Теперь, чтобы найти производную функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, мы можем использовать формулу:
∂u/∂s = gradu • v
где gradu - градиент функции u(x,y,z) в точке M0, v - вектор направления, идущий из точки М0 в точку М1, и • - операция скалярного произведения.
Вычислим градиент функции u(x,y,z) в точке M0 (как мы уже нашли, gradu = (0, 0, 0)) и найдем вектор v:
v = (x1-x0, y1-y0, z1-z0) = (3-0, -4-0, 2-0) = (3, -4, 2)
Теперь, найдем скалярное произведение gradu и v:
gradu • v = (0, 0, 0) • (3, -4, 2) = 0*3 + 0*(-4) + 0*2 = 0
Таким образом, производная функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, равна 0.
В итоге, мы получили, что производная функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, равна 0, а градиент функции u(x,y,z) в точке М0 также равен 0.
Дано, что вершины эллипса - А(7;0), А(-7;0), В(0;2), В(0;-2).
1. Найдем координаты центра эллипса. Центр эллипса определяется как точка пересечения диагоналей, проведенных между вершинами А и В.
X-координата центра будет равна среднему арифметическому координат вершин А и В по оси x:
Xцентр = (7 + (-7)) / 2 = 0.
Y-координата центра будет равна среднему арифметическому координат вершин А и В по оси y:
Yцентр = (0 + 0) / 2 = 0.
Таким образом, центр эллипса имеет координаты (0;0).
2. Найдем полуоси эллипса. Полуось a — это расстояние от центра до вершины эллипса по оси x, а полуось b — это расстояние от центра до вершины эллипса по оси y.
Полуось a будет равна расстоянию между центром эллипса и вершиной А или В по оси x:
a = |0 - 7| = 7.
Полуось b будет равна расстоянию между центром эллипса и вершиной В или А по оси y:
b = |0 - 2| = 2.
Таким образом, полуось a равна 7, а полуось b равна 2.
3. Теперь, имея центр эллипса (0;0) и значения полуосей a = 7 и b = 2, мы можем составить уравнение эллипса.
Уравнение эллипса в общем виде имеет вид:
(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1,
где (h; k) - координаты центра эллипса.
В нашем случае:
(x - 0)^2 / 7^2 + (y - 0)^2 / 2^2 = 1.
Упростим уравнение:
x^2 / 49 + y^2 / 4 = 1.
Таким образом, уравнение искомого эллипса в общем виде будет x^2 / 49 + y^2 / 4 = 1.
4. Чтобы построить эллипс в системе координат, мы должны нарисовать его на плоскости, используя найденные значения центра и полуосей.
Возьмем прямоугольную систему координат, где ось OX будет горизонтальной, а ось OY — вертикальной. На оси OX отложим точки с координатами (-7;0) и (7;0), а на оси OY - точки с координатами (0;2) и (0;-2).
Затем, используя эти точки, построим эллипс, соединяя их дугами. Радиусы дуг будут равны полуосям a и b в соответствуюшим направлениям. У эллипса ветви могут быть направлены в любую сторону от центра, поэтому на рисунке следует отобразить обе ветви.