Хорошо, давайте разберем этот вопрос. Для начала, чтобы исследовать на непрерывность функцию в точке, мы должны проверить следующие три условия:
1. Существование функции в данной точке.
2. Существование предела функции в данной точке.
3. Совпадение значения функции с пределом при x, стремящемся к данной точке.
Давайте проверим каждое из этих условий поочередно.
1. Существование функции в данной точке:
Функция y=x^2+4x+3 определена для любого значения x, поэтому функция существует в точке x=2.
2. Существование предела функции в данной точке:
Чтобы определить предел функции, мы должны проверить, существует ли предел функции при x, стремящемся к 2. Для этого будем брать значения x, близкие к 2, и смотреть, как изменяется значение функции.
Давайте рассмотрим значения x, стремящиеся к 2, справа и слева от точки x=2.
a) Левосторонний предел:
Пусть x приближается к 2 снизу. Заменяя x=2-δ, где δ - маленькое положительное число, мы можем выразить функцию следующим образом:
y=(2-δ)^2+4(2-δ)+3
=4-4δ+δ^2+8-8δ+3
=δ^2-12δ+15
b) Правосторонний предел:
Пусть x приближается к 2 сверху. Заменяя x=2+δ, где δ - маленькое положительное число, мы можем выразить функцию следующим образом:
y=(2+δ)^2+4(2+δ)+3
=4+4δ+δ^2+8+8δ+3
=δ^2+12δ+15
3. Совпадение значения функции с пределом при x, стремящемся к данной точке:
Теперь мы должны сравнить значения функции в точке x=2 с пределами функции при x, стремящихся к 2.
Давайте вычислим значение функции в точке x=2:
y=2^2+4*2+3
=4+8+3
=15
А теперь сравним это значение с левосторонним и правосторонним пределами, которые мы рассчитали ранее.
a) Левосторонний предел:
Подставляем x=2-δ в функцию: y=δ^2-12δ+15
lim(δ→0-) (δ^2-12δ+15) = 15
b) Правосторонний предел:
Подставляем x=2+δ в функцию: y=δ^2+12δ+15
lim(δ→0+) (δ^2+12δ+15) = 15
Таким образом, значения функции в точке x=2 совпадают с левосторонним и правосторонним пределами, равными 15.
Итак, по нашим условиям, функция y=x^2+4x+3 непрерывна в точке x=2.
Для проверки непрерывности функции в любой другой точке необходимо повторить такую же процедуру, заменяя значение x на это число и проверяя условия 1, 2 и 3.
Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
исследовать на непрерывность функцию у=×'2+4×+3 в точке ×=2
1. Существование функции в данной точке.
2. Существование предела функции в данной точке.
3. Совпадение значения функции с пределом при x, стремящемся к данной точке.
Давайте проверим каждое из этих условий поочередно.
1. Существование функции в данной точке:
Функция y=x^2+4x+3 определена для любого значения x, поэтому функция существует в точке x=2.
2. Существование предела функции в данной точке:
Чтобы определить предел функции, мы должны проверить, существует ли предел функции при x, стремящемся к 2. Для этого будем брать значения x, близкие к 2, и смотреть, как изменяется значение функции.
Давайте рассмотрим значения x, стремящиеся к 2, справа и слева от точки x=2.
a) Левосторонний предел:
Пусть x приближается к 2 снизу. Заменяя x=2-δ, где δ - маленькое положительное число, мы можем выразить функцию следующим образом:
y=(2-δ)^2+4(2-δ)+3
=4-4δ+δ^2+8-8δ+3
=δ^2-12δ+15
b) Правосторонний предел:
Пусть x приближается к 2 сверху. Заменяя x=2+δ, где δ - маленькое положительное число, мы можем выразить функцию следующим образом:
y=(2+δ)^2+4(2+δ)+3
=4+4δ+δ^2+8+8δ+3
=δ^2+12δ+15
3. Совпадение значения функции с пределом при x, стремящемся к данной точке:
Теперь мы должны сравнить значения функции в точке x=2 с пределами функции при x, стремящихся к 2.
Давайте вычислим значение функции в точке x=2:
y=2^2+4*2+3
=4+8+3
=15
А теперь сравним это значение с левосторонним и правосторонним пределами, которые мы рассчитали ранее.
a) Левосторонний предел:
Подставляем x=2-δ в функцию: y=δ^2-12δ+15
lim(δ→0-) (δ^2-12δ+15) = 15
b) Правосторонний предел:
Подставляем x=2+δ в функцию: y=δ^2+12δ+15
lim(δ→0+) (δ^2+12δ+15) = 15
Таким образом, значения функции в точке x=2 совпадают с левосторонним и правосторонним пределами, равными 15.
Итак, по нашим условиям, функция y=x^2+4x+3 непрерывна в точке x=2.
Для проверки непрерывности функции в любой другой точке необходимо повторить такую же процедуру, заменяя значение x на это число и проверяя условия 1, 2 и 3.
Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.