исследовать несобственные интегралы на сходимость, пример: $\int\limits^1_0 {\frac{dx}{\sqrt{x} +x^2} }$ . ответ: совпадает

Показать ответ

Ответ:

LeeAddon

01.08.2021 18:01

интеграл сходится

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^1_0 {\frac{dx}{\sqrt{x}+x^2 } } \,$

Найдем соответствующий неопределенный интеграл:

$\int {\frac{dx}{\sqrt{x} +x^2} } \, =\begin{Vmatrix} x =t^2\\dx=2tdt\\t=\sqrt{x} \\\end{Vmatrix}= 2\int {\frac{tdt}{t+t^4} } \, = 2\int {\frac{dt}{1+t^3} } \, = 2\int {\frac{dt}{(1+t)(1-t+t^2)} } \,=$

________________________________

Разложим дробь на сумму простейших:

$\frac{1}{(t+1)(1-t+t^2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^2-t+1}\\\\1=A(t^2-t+1)+(Bt+C)(t+1) \\1=At^2-At+A+Bt^2+Bt+Ct+C\\1=(A+B)t^2+(-A+B+C)t+(A+C)\\\\\begin{cases} A+B=0\\-A+B+C=0\\A+C=1 \end{cases}\\\\B=-A\; \Rightarrow \; \begin{cases} -2A+C=0 \; | \; *(-1)\\A+C=1 \end{cases} \Rightarrow \; \begin{cases} 2A-C=0\\A+C=1 \end{cases}\bigg|+ \Rightarrow\\3A=1, \; A=\frac{1}{3}, \; C=\frac{2}{3}, \; B=-\frac{1}{3}$

________________________________

$=2\int {\big(\frac{1}{3}*\frac{1}{t+1}-\frac{1}{3}*\frac{t-2}{t^2-t+1}\big) } \, dt=\frac{2}{3}\int\frac{dt}{t+1}-\\\frac{2}{3} \int\frac{t-2}{t^2-t+1} \big dt= \frac{2}{3}\int {\frac{dt}{t+1} } \, -\frac{1}{3} \int {\frac{(2t-1)-3}{t^2-t+1} } \,dt =\\\frac{2}{3}\int {\frac{dt}{t+1} } \, -\frac{1}{3} \int {\frac{(2t-1)dt}{t^2-t+1} } \, +\int {\frac{dt}{t^2-t+1} } \, =$

$\begin{Vmatrix} t^2-t+1=t^2-2*t*\frac{1}{2}+\\(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}=\big(t-\frac{1}{2}\big)^2+\big(\frac{\sqrt{3} }{2}\big)^2 \end{Vmatrix}=\\\frac{2}{3}\int {\frac{d(t+1)}{t+1} } \, -\frac{1}{3} \int {\frac{d(t^2-t+1)}{t^2-t+1} } \, +\int {\frac{d\big(t-\frac{1}{2}\big) }{\big(t-\frac{1}{2}\big)^2+\big(\frac{\sqrt{3} }{2}\big)^2} } \, =$

$\frac{2}{3}\ln|t+1|-\frac{1}{3}\ln|t^2-t+1|+\frac{2}{\sqrt{3} }\rm arctg\frac{2t-1}{\sqrt{3} } +C=\\\frac{2}{3}\ln|\sqrt{x} +1|-\frac{1}{3}\ln|x-\sqrt{x} +1|+\frac{2}{\sqrt{3} }\rm arctg\frac{2\sqrt{x} -1}{\sqrt{3} } +C$

Вычислим несобственный интеграл:

$\int\limits^1_0 {\frac{dx}{\sqrt{x} +x^2} } \,= \lim_{c \to 0} \int\limits^1_{0+c} {\frac{dx}{\sqrt{x} +x^2} } \,=\\ \lim_{c \to 0} \bigg(\frac{2}{3}\ln|\sqrt{x} +1|-\frac{1}{3}\ln|x-\sqrt{x} +1|+\frac{2}{\sqrt{3} }\rm arctg\frac{2\sqrt{x} -1}{\sqrt{3} } \bigg|_{0+c}^1 \bigg)=\\$

$\lim_{c \to 0} \bigg(\frac{2}{3}\ln|\sqrt{1} +1|-\underbrace{\frac{1}{3}\ln|1-\sqrt{1} +1|}_{0}+\frac{2}{\sqrt{3} }\rm arctg\frac{2\sqrt{1} -1}{\sqrt{3} }-\\\big(\frac{2}{3}\ln|\sqrt{0+c} +1|-\frac{1}{3}\ln|0+c-\sqrt{0+c} +1|+\frac{2}{\sqrt{3} }\rm arctg\frac{2\sqrt{0+c} -1}{\sqrt{3} } \big) \bigg)=$

$\lim_{c \to 0} \bigg(\frac{2}{3}\ln2+\frac{2}{\sqrt{3} }*\frac{\pi }{6} -\frac{2}{3}\ln|\sqrt{c} +1|+\frac{1}{3}\ln|c-\sqrt{c} +1|-\\\frac{2}{\sqrt{3} }\rm arctg\frac{2\sqrt{c} -1}{\sqrt{3} } \bigg) = \frac{2}{3}\ln2+\frac{\pi }{3\sqrt{3} } -\underbrace{\frac{2}{3}\ln1}_{0}+\underbrace{\frac{1}{3}\ln1 }_{0}\underbrace{-\frac{2}{\sqrt{3} }*(-\frac{\pi }{6})}_{+\frac{\pi }{3\sqrt{3} } }=\\\frac{2}{3}\ln2+\frac{2\pi }{3\sqrt{3} }$