7, 8,9 - взаимно простые , значит 7*8*9=504 - разность между двумя последовательными числами кратным и 7 и 8, и 9
504000=504*1000 кратно 504 523000-504000=19000 19000:504=37(ост. 352) значит 504000+37*504=522648 - кратное, но не входит в нужный промежуток от (523000 до 523999) 522648+504=523152 - первое из нужных чисел 523152+504=523656 - второе из нужных чисел 523656+504=524160 - вышли за рассматриваемый промежуток
значит нужных чисел всего 2 ответ: а) 2
(доп.размышления так как разность между кратными равна 504 а разность от максимального числа в интервале и минимального "гипотетических возможных" равна 523999-523000=999 то очевидно что таких чисел будет не больше 2, так как 999:504=1(ост 495) и может нужных оказаться либо 1 число либо 1+1=2)
Предположим что данная дробь является конечной ,тогда тк любое конечное положительное рациональное число рациональное число представимо в виде выражения: N/10^k тогда верно что: n/2n^2+1=N/10^k n*10^k/2n^2 +1=N число n не имеет с числом 2n^2+1 общих простых делителей. Действительно тк число 2n^2 cодержит в себе все простые делители числа n,то число 2n^2+1 не содержит всех этих делителей,тк это число будет давать на все эти делители остаток 1,тк 1-это наименьшее число из всех простых делителей.Число 10^k содержит делители 2^m и 5^p p,m-натуральные числа (p<=k m<=k) делитель 2^m четный ,а число 2n^2+1 всегда нечетно ,то делитель 2^m у них быть общим не может.Если у числа 2n^2+1 есть общий делитель 5^p,то оно либо оканчивается на цифру 0 или цифру 5.Проанализируем все варианты: число n может кончаться на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 тогда число 2n^2+1 может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть это число не может иметь делитель 5^p. Таким образом числитель и знаменатель дроби n*10^k/2n^2+1 не имеют общих делителей,тогда эта дробь несократима,а тк из равенства n*10^k/2n^2+1=N то несократимая дробь равна натуральному числу,а такое невозможно,то есть мы пришли к противоречию,значит эта дробь бесконечно периодическая при любом n.Теперь самое трудное.Необходимо доказать,что эта дробь чисто периодическая (без примесей) Любое чисто периодическое число меньшее 1 (как и наше при любом n) представимо в виде: N/(10^k -1) где k-длинна его периода N cам этот период без нулей в начале,если таковые присутствуют.(Надеюсь понятно) Положим теперь что наша дробь смешанная ,тогда верно что n/2n^2+1=N/10^s +M
, значит 7*8*9=504 - разность между двумя последовательными числами кратным и 7 и 8, и 9
504000=504*1000 кратно 504
523000-504000=19000
19000:504=37(ост. 352)
значит 504000+37*504=522648 - кратное, но не входит в нужный промежуток от (523000 до 523999)
522648+504=523152 - первое из нужных чисел
523152+504=523656 - второе из нужных чисел
523656+504=524160 - вышли за рассматриваемый промежуток
значит нужных чисел всего 2
ответ: а) 2
(доп.размышления
так как разность между кратными равна 504
а разность от максимального числа в интервале и минимального "гипотетических возможных" равна 523999-523000=999
то очевидно что таких чисел будет не больше 2, так как 999:504=1(ост 495) и может нужных оказаться либо 1 число либо 1+1=2)
N/10^k тогда верно что:
n/2n^2+1=N/10^k
n*10^k/2n^2 +1=N
число n не имеет с числом 2n^2+1 общих простых делителей.
Действительно тк число 2n^2 cодержит в себе все простые делители числа n,то число 2n^2+1 не содержит всех этих делителей,тк это число будет давать на все эти делители остаток 1,тк 1-это наименьшее число из всех простых делителей.Число 10^k содержит делители 2^m и 5^p p,m-натуральные числа (p<=k m<=k)
делитель 2^m четный ,а число 2n^2+1 всегда нечетно ,то делитель 2^m у них быть общим не может.Если у числа 2n^2+1 есть общий делитель 5^p,то оно либо оканчивается на цифру 0 или цифру 5.Проанализируем все варианты: число n может кончаться на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
тогда число 2n^2+1 может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть это число не может иметь делитель 5^p.
Таким образом числитель и знаменатель дроби n*10^k/2n^2+1 не имеют общих делителей,тогда эта дробь несократима,а тк из равенства
n*10^k/2n^2+1=N то несократимая дробь равна натуральному числу,а такое невозможно,то есть мы пришли к противоречию,значит эта дробь бесконечно периодическая при любом n.Теперь самое трудное.Необходимо доказать,что эта дробь чисто периодическая (без примесей)
Любое чисто периодическое число меньшее 1 (как и наше при любом n)
представимо в виде: N/(10^k -1) где k-длинна его периода N cам этот период без нулей в начале,если таковые присутствуют.(Надеюсь понятно)
Положим теперь что наша дробь смешанная ,тогда верно что
n/2n^2+1=N/10^s +M