Хорошо, давайте рассмотрим вашу функцию y = x^4 - 12x^2 + 36 и исследуем ее по шагам.
1. Точки пересечения с осями координат:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (ось X) необходимо приравнять функцию к нулю и решить уравнение:
0 = x^4 - 12x^2 + 36
Давайте решим это уравнение:
Выражаем x^2 в виде a (x^2 = a):
0 = a^2 - 12a + 36
Факторизуем это уравнение:
0 = (a - 6)(a - 6)
Получаем два значения: a = 6 и a = 6.
Так как x^2 = a, то x = √6 и x = -√6.
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс это (√6, 0) и (-√6, 0).
Для нахождения точек пересечения с осью ординат (ось Y), подставим x = 0 в уравнение функции:
y = 0^4 - 12 * 0^2 + 36
y = 36
Таким образом, точка пересечения с осью ординат это (0, 36).
Мы уже можем начать строить график, используя эти точки.
2. Знак исследуемой функции:
Для определения знака функции на разных интервалах, найдем производную функции:
y' = 4x^3 - 24x
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
0 = 4x(x^2 - 6)
Из таблицы видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, -√6) и (0, √6), и убывает на интервале (-√6, 0).
3. Экстремумы функции:
Для определения экстремумов функции найдем точки, где производная меняет знак.
Мы уже установили, что производная меняет знак в точках x = 0 и x = ±√6.
Для определения типа экстремумов, рассмотрим вторую производную:
y'' = 12x^2 - 24
Теперь подставим найденные точки x = 0 и x = ±√6 во вторую производную:
Для x = 0: y'' = 12(0)^2 - 24 = -24
Для x = ±√6: y'' = 12(±√6)^2 - 24 = 12(6) - 24 = 48 - 24 = 24
Так как y''(0) < 0, то это будет максимум. А так как y''(±√6) > 0, то это будут минимумы.
Итак, у нас есть максимум при x = 0 и два минимума при x = ±√6.
4. Асимптоты:
Теперь давайте рассмотрим асимптоты данной функции.
Горизонтальная асимптота:
При устремлении x к бесконечности и отрицательной бесконечности, значение функции будет стремиться к какому-то числу.
Здесь, когда x стремится к ±бесконечности, функция не имеет горизонтальных асимптот, так как при x, стремящемся к ±бесконечности, значение функции также стремится к бесконечности.
Вертикальные асимптоты:
Чтобы найти вертикальные асимптоты, мы должны рассмотреть значения x, при которых знаменатель функции равен нулю. Но здесь у нас нет знаменателя, поэтому нет вертикальных асимптот.
Наконец, мы можем построить график функции y = x^4 - 12x^2 + 36, используя информацию, которую мы получили из нашего исследования.
Точки минимума, желоба, это -корень из 6 и корень из 6
Пошаговое объяснение:
1. Точки пересечения с осями координат:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (ось X) необходимо приравнять функцию к нулю и решить уравнение:
0 = x^4 - 12x^2 + 36
Давайте решим это уравнение:
Выражаем x^2 в виде a (x^2 = a):
0 = a^2 - 12a + 36
Факторизуем это уравнение:
0 = (a - 6)(a - 6)
Получаем два значения: a = 6 и a = 6.
Так как x^2 = a, то x = √6 и x = -√6.
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс это (√6, 0) и (-√6, 0).
Для нахождения точек пересечения с осью ординат (ось Y), подставим x = 0 в уравнение функции:
y = 0^4 - 12 * 0^2 + 36
y = 36
Таким образом, точка пересечения с осью ординат это (0, 36).
Мы уже можем начать строить график, используя эти точки.
2. Знак исследуемой функции:
Для определения знака функции на разных интервалах, найдем производную функции:
y' = 4x^3 - 24x
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
0 = 4x(x^2 - 6)
Получаем два значения: x = 0 и x = ±√6.
Составим таблицу знаков:
x | -∞ | -√6 | 0 | √6 | +∞
---------------------------------------------------------------------------------
y' | - | + | 0 | - | +
Из таблицы видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, -√6) и (0, √6), и убывает на интервале (-√6, 0).
3. Экстремумы функции:
Для определения экстремумов функции найдем точки, где производная меняет знак.
Мы уже установили, что производная меняет знак в точках x = 0 и x = ±√6.
Для определения типа экстремумов, рассмотрим вторую производную:
y'' = 12x^2 - 24
Теперь подставим найденные точки x = 0 и x = ±√6 во вторую производную:
Для x = 0: y'' = 12(0)^2 - 24 = -24
Для x = ±√6: y'' = 12(±√6)^2 - 24 = 12(6) - 24 = 48 - 24 = 24
Так как y''(0) < 0, то это будет максимум. А так как y''(±√6) > 0, то это будут минимумы.
Итак, у нас есть максимум при x = 0 и два минимума при x = ±√6.
4. Асимптоты:
Теперь давайте рассмотрим асимптоты данной функции.
Горизонтальная асимптота:
При устремлении x к бесконечности и отрицательной бесконечности, значение функции будет стремиться к какому-то числу.
Здесь, когда x стремится к ±бесконечности, функция не имеет горизонтальных асимптот, так как при x, стремящемся к ±бесконечности, значение функции также стремится к бесконечности.
Вертикальные асимптоты:
Чтобы найти вертикальные асимптоты, мы должны рассмотреть значения x, при которых знаменатель функции равен нулю. Но здесь у нас нет знаменателя, поэтому нет вертикальных асимптот.
Наконец, мы можем построить график функции y = x^4 - 12x^2 + 36, используя информацию, которую мы получили из нашего исследования.
|
| * (0, 36)
|
|
|
---|-------* (-√6, 0)------- * (√6, 0) ----------
|
Это график функции y = x^4 - 12x^2 + 36.