Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным условиям.(с подробным решением по порядку у" + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=2
Решение: у" + 4y = 0 Так как правой части уравнения отсутствует функция данное дифференциальное уравнение второго порядка однородное с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение имеет вид:
k² + 4 = 0
k² = -4
Его корни k₁,₂ = 2i.
То есть в данном случае корни комплексные(k₁=α+βi,k₂=α-βi) и для них α = 0,β =2 Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:
1) 60 : 3 * 2 = 40 мин - ехал автомобиль от стоянки до первого светофора 2)60 : 6 = 10 мин - составляет 1/6 часа 3) 40 - 10 = 30 мин - ехал автомобиль до второго светофора 4) 60 : 30 = 2 мин - стоянка 5) 40 + 2 + 30 = 72 мин = 1 час 12 мин 1) 120 +(60 : 5 * 2) = 144 мин = 2 часа 24 мин- затратили на дорогу туда 2) 1/2 часа = 60: 2 = 30 мин 3) 144 + 30 = 174 мин = 2 часа 54 мин - затратили на дорогу обратно 4) 2 часа 24 мин + 2 часа 54 мин = 5 часов 18 мин - ушло на дорогу 5) 6 2/3 часа = 360 + (60 :3 * 2) = 360 + 40 = 400 мин = 6 часов 40 мин - длилась вся экскурсия 6) 6 час 40 мин - 5 час 18 мин = 1 час 22 мин - длился осмотр
у" + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=2
Решение:
у" + 4y = 0
Так как правой части уравнения отсутствует функция данное дифференциальное уравнение второго порядка однородное с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение имеет вид:
k² + 4 = 0
k² = -4
Его корни k₁,₂ = 2i.
То есть в данном случае корни комплексные(k₁=α+βi,k₂=α-βi) и для них α = 0,β =2 Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:
y(x) = C₁cos(βx) +C₂sin(βx) = C₁cos(2x) +C₂sin(2x)
Для нахождения функций C₁ и C₂ используем начальные условия:
y(0)=1; y'(0) = 2
y(0) =C₁cos(2*0) + C₂sin(2*0) = C₁ = 1.
Найдем производную функции:
y'(x) = -2C₁sin(2x) + 2C₂cos(2x).
Подставим начальное условие:
y'(0) = -2sin(0) + 2C₁cos(0) = 2С₁ = 2 ⇒С₁ = 1.
Следовательно частное решение дифференциального уравнения:
y(x) = cos(2x) + sin(2x)
Проверка: y'(x) = -2sin(2x) + 2cos(2x)
y''(x) = -4cos(2x) - 4sin(2x)
Подставляем в исходное уравнение
y'' + 4y = -4cos(2x) - 4sin(2x) + 4(cos(2x)+sin(2x)) = 0
ответ: y(x) = cos(2x) + sin(2x)