Из 5000 вкладчиков банка по схеме случайной бесповторной выборки было отобрано 300 вкладчиков. средний размер вклада в выборке составил 8000 руб., а среднее квадратическое отклонение 2500 руб. какова вероятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика отличается от его среднего размера в выборке не более, чем на 100 руб. (по абсолютной величине)?
желательно с объяснением
Чтобы решить данную задачу, нам поможет центральная предельная теорема. Она утверждает, что если мы выбираем достаточно большую случайную выборку из какой-либо генеральной совокупности, то распределение выборочного среднего будет приближаться к нормальному распределению с теми же параметрами, что и сама генеральная совокупность.
В нашем случае у нас есть выборка из 300 вкладчиков из общего числа вкладчиков банка, равного 5000. Мы знаем, что средний размер вклада в выборке составляет 8000 рублей, а среднее квадратическое отклонение равно 2500 рублей.
Так как объем выборки больше 30 (300 > 30), мы можем применить центральную предельную теорему и использовать нормальное распределение для рассчета вероятности.
Средний размер вклада случайно выбранного вкладчика (не из выборки) будет иметь такое же среднее, как и в выборке, а его стандартное отклонение будет равно:
Стандартное отклонение вклада в генеральной совокупности = Стандартное отклонение вклада в выборке / √объема выборки
Тогда стандартное отклонение вклада в генеральной совокупности равно:
Стандартное отклонение вклада в генеральной совокупности = 2500 / √300 ≈ 144.34 руб.
Так как у нас нет информации о форме распределения вклада в генеральной совокупности и прибегнуть к точным значениям не можем, мы будем использовать нормальное распределение для рассчета вероятности.
Теперь обратимся к самому вопросу: какова вероятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика отличается от среднего размера в выборке не более, чем на 100 рублей (по абсолютной величине)?
Мы можем сформулировать это так: какова вероятность того, что разница между средним размером вклада в выборке и средним размером вклада в генеральной совокупности будет не более, чем 100 рублей (по абсолютной величине).
Для этого нам нужно найти z-оценку для разницы средних:
z = (разница средних - 0) / стандартное отклонение разницы
Так как у нас нет информации о стандартном отклонении разницы, мы его можем оценить, используя стандартное отклонение вклада в генеральной совокупности и объем выборки:
Стандартное отклонение разницы = стандартное отклонение вклада в генеральной совокупности / √объема выборки
Стандартное отклонение разницы = 144.34 / √300 ≈ 8.338 руб.
Теперь мы можем рассчитать z-оценку:
z = (100 - 0) / 8.338 ≈ 11.99
Затем мы находим вероятность для полученной z-оценки, использовав таблицу нормального распределения или калькулятор вероятности.
Вероятность превышения значения z-оценки составляет практически 0. Но нам интересует не это, а вероятность, что разница между средним размером вклада в выборке и средним размером вклада в генеральной совокупности не будет превышать 100 рублей.
Мы можем использовать таблицу нормального распределения, чтобы найти площадь под кривой слева от найденной z-оценки (11.99).
В таблице обычно перечислены вероятности до 3.5 стандартных отклонений, так что мы можем принять, что вероятность будет очень близкой к 1.
Таким образом, вероятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика отличается от его среднего размера в выборке не более, чем на 100 рублей (по абсолютной величине), практически равна 1.
Надеюсь, это пояснение помогло тебе понять, как решить эту задачу. Если у тебя возникают еще вопросы, пожалуйста, задавай их!