Задача № 3: S пол. = 5425,92 см²; V ≈ 25060,52 см³.
Задача № 4: S пол. = 2562,03 см²; V ≈ 6503,06 см³.
Пошаговое объяснение:
Для решения обеих задач используются одни и те же формулы:
1) площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа "пи" (3,14) на радиус основания и на длину образующей;
2) площадь основания (круга) равна "пи" умножить на радиус основания в квадрате;
3) площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания и боковой поверхности;
4) объём конуса равен произведению одной третьей площади основания конуса на его высоту.
Задача № 3.
Дано центральное сечение, проходящее через центр основания конуса и его вершину.
Если треугольник АВС - правильный, значит, всего стороны равны:
АС = АВ = ВС.
Все эти стороны не известны, но известна высота СО = 24√3 см.
В прямоугольном треугольнике АОС высота СО является катетом, а катет АО равен 1/2 гипотенузы АС, т.к. высота в равнобедренном треугольнике является его медианой.
1) Пусть АС = х, тогда АО = х/2; по теореме Пифагора:
АС² - АО² = СО²,
или
х² - (х/2)² = (24√3)²,
х² - х²/4 = 576 * 3,
3х² = 2304 * 3,
х² = 2304,
х = √2304 = 48.
АС= СВ = АВ = 48 см,
АО = АВ/2 = 24 см.
2) площадь боковой поверхности конуса:
Sб = 3,14 * 24 * 48 = 3617,28 см²;
3) площадь основания:
Sосн = 3,14 * 24² = 3,14 * 576 = 1808,64 см²;
4) площадь полной поверхности конуса:
S пол. = Sосн + Sб = 1808,64 + 3617,28 = 5425,92 см²;
a) х = √3 см, у = 2√3 см, или CB = √3 см, AB = 2√3 см.
b) х = 4√2 см, у = 4√2 см, или NM = 4√2 см, NK = 4√2 см.
c) х = 20 см, у = 10√3 см, или PT = 20 см, RT = 10√3 см.
d) х = 2√3 см, у = 4√3/3 см, или EH = 2√3 см, FG = 4√3/3 см.
Пошаговое объяснение:
а) Катет равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего данному катету:
х = 3 * tg 30° = 3 * (√3/3) = √3 см,
у = 2х = 2√3 см, т.к. катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
ответ: х = √3 см, у = 2√3 см, или CB = √3 см, AB = 2√3 см.
b)
∠М = 180°-∠N-∠K =180°-90°-45° =45°,
т.к. ∠М = ∠K = 45°, то ΔMNK - равнобедренный и х = у.
Катет равен гипотенузе, умноженной на синус угла противолежащего этому катету:
х = 8*sin45° = 8 * (√2/2) = 4√2
ответ: х = 4√2 см, у = 4√2 см, или NM = 4√2 см, NK = 4√2 см
c)
∠Т = 180°-∠R-∠P = 180°-90°-60° =30°,
PR = 10 cм и лежит против угла в 30°, значит он равен 1/2 гипотенузы х, откуда х = 10* 2 = 20 см;
Катет равен гипотенузе, умноженной на синус угла противолежащего этому катету:
у = 20 * sin60° = 20 * (√3/2) = 10√3 см.
ответ: х = 20 см, у = 10√3 см, или PT = 20 см, RT = 10√3 см
d)
В прямоугольном ΔEFH катет FH лежит против угла 30°, следовательно, гипотенуза EF этого треугольника равна 2FH :
EF = 2* FH = 2* 2 = 4 см;
отсюда х = √(EF²- FH²) = √(4²- 2²) = √(16 -4) = √12 = 2√3.
В прямоугольном ΔFGH катет GH равен другому катету FH, умноженному на тангенс угла, противолежащего этому катету (а угол HFG = 30°):
GH = FH *tg 30° = 2 * (√3/3) = (2√3)/3 см;
отсюда
у = √(FH²+HG²) = √(2²+(2√3/3)²) = √(4 + 4*3/9) = √(36+12)/9= √48/9= √(16*3) /9= 4√3/3 см
ответ: х = 2√3 см, у = 4√3/3 см, или EH = 2√3 см, FG = 4√3/3 см
Задача № 3: S пол. = 5425,92 см²; V ≈ 25060,52 см³.
Задача № 4: S пол. = 2562,03 см²; V ≈ 6503,06 см³.
Пошаговое объяснение:
Для решения обеих задач используются одни и те же формулы:
1) площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа "пи" (3,14) на радиус основания и на длину образующей;
2) площадь основания (круга) равна "пи" умножить на радиус основания в квадрате;
3) площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания и боковой поверхности;
4) объём конуса равен произведению одной третьей площади основания конуса на его высоту.
Задача № 3.
Дано центральное сечение, проходящее через центр основания конуса и его вершину.
Если треугольник АВС - правильный, значит, всего стороны равны:
АС = АВ = ВС.
Все эти стороны не известны, но известна высота СО = 24√3 см.
В прямоугольном треугольнике АОС высота СО является катетом, а катет АО равен 1/2 гипотенузы АС, т.к. высота в равнобедренном треугольнике является его медианой.
1) Пусть АС = х, тогда АО = х/2; по теореме Пифагора:
АС² - АО² = СО²,
или
х² - (х/2)² = (24√3)²,
х² - х²/4 = 576 * 3,
3х² = 2304 * 3,
х² = 2304,
х = √2304 = 48.
АС= СВ = АВ = 48 см,
АО = АВ/2 = 24 см.
2) площадь боковой поверхности конуса:
Sб = 3,14 * 24 * 48 = 3617,28 см²;
3) площадь основания:
Sосн = 3,14 * 24² = 3,14 * 576 = 1808,64 см²;
4) площадь полной поверхности конуса:
S пол. = Sосн + Sб = 1808,64 + 3617,28 = 5425,92 см²;
5) объём конуса:
V = ((3,14 * 24²)* (24√3)) / 3 = (1808,64*24√3)/3 = 1808,64*8*√3 = 14469,12√3 ≈ 14469,12*1,732 ≈ 25060,52 см³.
ответ: S пол. = 5425,92 см²; V ≈ 25060,52 см³.
Задача № 4.
1) В этой задаче в центральном сечении - прямоугольный треугольник, т.к. ∠С - прямой, согласно условию задачи.
Δ АОС = ΔСОВ (по трём сторонам), следовательно Δ АСВ является равнобедренным, то есть:
катет АС = катету СВ = 26 см,
а гипотенузу АВ можно найти по теореме Пифагора:
АВ² = АС²+СВ² = 26² + 26² = 676 + 676 = 1352,
АВ = √ 1352 = √ 676 * 2 = 26√2;
ОВ (радиус основания) = 1/2 АВ = (26√2) / 2 = 13√2;
СО (высота конуса) = √ (ВС² - ОВ²) = √((26² - (13√2)²) = √(676-169*2)= √(676-338) = √338 = 13√2;
2) площадь боковой поверхности конуса:
Sб = 3,14 * 13√2 * 26 ≈ 3,14 * 13 * 1,414 * 26 ≈1500, 71 см²;
3) площадь основания:
Sосн = 3,14 * (13√2)² = 3,14 * 169 * 2 = 1061,32 см²;
4) площадь полной поверхности конуса:
S пол. = Sосн + Sб = 1061,32 + 1500, 71 = 2562,03 см²;
5) объём конуса:
V = (1061,32 * 13√2)/3 ≈ (1061,32*13*1,414)/3 ≈ 6503,06 см³.
ответ: S пол. = 2562,03 см²; V ≈ 6503,06 см³.