Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ = 40 извлечена выборка объемом n = 64 и по ней найдена выборочная средняя x ̅ = 136,5. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H0: а = а0 = 130 при конкурирующей гипотезе H1: а ≠ 130.
Данный вопрос связан с проверкой гипотезы о среднем запасе некоторого показателя (в данном случае обозначим его за "а") генеральной совокупности, если нам дана выборка.
При проверке гипотезы мы задаем нулевую гипотезу H0, которая принимается, если нет оснований считать, что выборочное среднее не равно заданному значению а0. Конкурирующая гипотеза H1 заявляет, что выборочное среднее отличается от а0.
Уровень значимости (обозначается как α) указывает, насколько мы готовы считать наблюдаемое отклонение случайным при условии, что нулевая гипотеза верна. В данном случае уровень значимости равен 0,01 или 1%.
Шаги решения этой задачи следующие:
1. Сформулируйте нулевую и конкурирующую гипотезы:
- H0: а = а0 = 130 (нулевая гипотеза)
- H1: а ≠ 130 (конкурирующая гипотеза)
2. Вычислите стандартную ошибку выборочного среднего (стандартное отклонение среднего):
- SE = σ/√n, где σ - среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности, а n - объем выборки.
В данном случае, σ = 40 и n = 64, поэтому SE = 40/√64 = 40/8 = 5.
3. Вычислите статистику t-критерия:
- t = (x ̅ - а0)/SE, где x ̅ - выборочное среднее.
В данном случае, x ̅ = 136,5 и а0 = 130, поэтому t = (136,5 - 130)/5 = 6,5/5 = 1,3.
4. Найдите критическую область:
- Если p-значение (вероятность получить наблюдаемое значение t или более экстремальное при условии, что нулевая гипотеза верна) меньше уровня значимости α, то отвергаем нулевую гипотезу в пользу конкурирующей гипотезы.
Найдем критические значения t (t-статистики), используя таблицу распределения Стьюдента или программное обеспечение. Учитывая уровень значимости α = 0,01 и объем выборки n = 64, t-статистики для двухсторонней проверки равна ±2,648.
Если |t| > 2,648, то мы будем отвергать нулевую гипотезу.
5. Примите решение на основе полученных результатов:
- Если значение t попадает в критическую область, то отвергаем нулевую гипотезу H0 в пользу конкурирующей гипотезы H1. Это означает, что у нас есть статистически значимые доказательства в пользу того, что выборочное среднее значительно отличается от заданного значения а0.
- Если значение t не попадает в критическую область, то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу H0. Это означает, что у нас нет достаточных доказательств в пользу отличия выборочного среднего от заданного значения а0.
Таким образом, мы можем провести проверку данной гипотезы о значении а для генеральной совокупности на основе имеющейся выборки и указанных вопросе данных.