Из одной вершины треугольника провели медиану, биссектрису и высоту. они разделили соответствующий угол треугольника на 4 равных угла. найти величины всех углов треугольника
Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть c2 = a2 + b2, где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения: a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства: h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).
Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).

Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.
Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).
4
Последняя формула называется формулой Герона.
Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).
 Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть b : c = x : y.
Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)
 .
Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).

Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).

Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы). 
c2 = a2 + b2,
где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:
a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:
h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).

Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения

Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).

Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.
Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).
4
Последняя формула называется формулой Герона.
Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).

Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть
b : c = x : y.
Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)

.
Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).

Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).

Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы).