Издательский дом «Живое слово» выпускает два журнала: «Следопыт» и «Путешественник», которые печатаются в трех типографиях: «АлмазПресс», «Урал-Принт» и «Уникум-Пресс», где общее количество часов,
отведенное для печати, и производительность печати одной тысячи
экземпляров ограничены (представлены в табл. 9).
86
Таблица 9
Производительность
Типография
Время печати одной тысячи экземпляров Ресурс времени,
отведенный
типографией, час
«Следопыт» «Путешественник»
«Алмаз-Пресс» 2 14 112
«Урал-Принт» 4 6 70
«Уникум-Пресс» 6 4 80
Оптовая цена, руб./шт 16 12
Спрос на журнал «Следопыт» составляет 12 тысяч экземпляров, а на
журнал «Путешественник» – не более 7,5 тысячи в месяц. Определите
оптимальное количество издаваемых журналов, которое обеспечит
максимальную выручку от продаж
Пусть x, y и z обозначают количество журналов, издаваемых в типографиях «Алмаз-Пресс», «Урал-Принт» и «Уникум-Пресс» соответственно.
Теперь составим математическую модель задачи:
Функция цели: максимизировать выручку от продажи журналов.
Выручка от продажи одного экземпляра журнала "Следопыт" равна 16 рублей, а журнала "Путешественник" - 12 рублей.
Тогда выручка от продаж всех журналов "Следопыт" равна 12 * 16 * x, а от продаж всех журналов "Путешественник" - 12 * 12 * y.
Таким образом, целевая функция будет выглядеть следующим образом:
Целевая функция: Z = 12 * 16 * x + 12 * 12 * y.
Ограничения:
1) Количество журналов "Следопыт" не должно превышать 12 тысяч экземпляров в месяц:
x <= 12.
2) Количество журналов "Путешественник" не должно превышать 7,5 тысячи экземпляров в месяц:
y <= 7.5.
3) Время печати в каждой типографии должно быть не более выделенного времени:
2x + 4y + 6z <= 112 (количество часов, отведенных типографией "Алмаз-Пресс").
14x + 6y + 4z <= 70 (количество часов, отведенных типографией "Урал-Принт").
112x + 70y + 80z <= 80 (количество часов, отведенных типографией "Уникум-Пресс").
4) Количество журналов должно быть неотрицательным:
x, y, z >= 0.
Таким образом, задача оптимизации состоит в нахождении максимального значения целевой функции Z при заданных ограничениях.
Школьнику можно пояснить, что мы ищем наиболее выгодный способ распределения журналов по типографиям, чтобы максимизировать выручку от их продажи. Ограничения в задаче соответствуют ограничениям по времени печати в каждой типографии и максимальному спросу на каждый из журналов.
Решить эту задачу можно методом линейного программирования, используя например метод симплекс-метода или графический метод.