Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые свойства чётности и нечётности чисел.
1. Сумма нескольких чисел будет нечётной, если количество нечётных чисел среди них нечётное.
2. Умножение нескольких чисел будет чётным, если хотя бы одно из них чётное.
3. Сумма нескольких чисел будет чётной, если количество нечётных чисел среди них чётное.
Теперь рассмотрим каждое выражение по очереди:
1. Выражение n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20. Каждое слагаемое здесь имеет вид ni-3ni. Числа ni и -3ni имеют одинаковую чётность, так как можно представить -3 в виде -3= (-1) * 3. Поэтому чётность каждого слагаемого не меняется, и сумма этих слагаемых тоже будет иметь ту же чётность, что и каждое слагаемое. Так как известно, что сумма 20 чисел нечётна, то в этом выражении должно быть нечётное количество нечётных слагаемых. Следовательно, выражение n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20 заведомо будет иметь нечётную чётность.
2. Выражение n1⋅n2⋅…⋅n20. В этом выражении произведение всех чисел приводит к чётности результата. Даже если одно из чисел нечётное, произведение все равно будет иметь чётность. Поэтому выражение n1⋅n2⋅…⋅n20 заведомо будет иметь чётную чётность.
3. Выражение n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20. В этом выражении мы имеем два произведения, первое из которых содержит только первые 10 чисел, а второе включает оставшиеся 10 чисел. По свойству умножения, если хотя бы одно из чисел каждого из произведений чётное, то результат будет иметь чётную чётность. Поскольку первое произведение содержит только половину чисел, второе произведение также содержит хотя бы одно чётное число (так как в сумме 20 чисел нечётное количество чисел). Следовательно, выражение n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20 заведомо будет иметь чётную чётность.
4. Выражение 2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20. В этом выражении каждое слагаемое может быть представлено в виде 2ni, где ni - целое число. Умножение числа на 2 не меняет его чётность. Поэтому каждое слагаемое в сумме будет иметь чётность такую же, как и само ni. Поскольку сумма 20 чисел нечётна, в этом выражении должно быть нечётное количество нечётных слагаемых. Следовательно, выражение 2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20 заведомо будет иметь нечётную чётность.
Таким образом, выражение n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20 - заведомо нечётное;
выражение n1⋅n2⋅…⋅n20 - заведомо чётное;
выражение n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20 - заведомо чётное;
выражение 2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20 - заведомо нечётное.
2
Пошаговое объяснение:
Немного теории (постарайся понять что к чему, если надо, переспроси в комментарии):
Если сумма нечетна, значит там есть нечетное количество нечетных слагаемых.
Например:
2 + 3 + 4 = 9 (1 нечетный)
2 + 3 + 1 + 4 = 10 (2 нечетных)
2 + 3 + 1 + 7 + 4 = 17 (3 нечетных)
Сумма всех нечетных элементов нечетна, если количество элементов нечетна:
1 + 3 + 5 = 9 (3 элемента)
3 + 5 = 8 (2 элемента)
В нашей задаче 20 элементов, значит, там встречаются четные и нечетные числа (причем, нечетных нечетное число).
При умножении четного на любое натуральное число, получится четное число.
При умножении нечетного на четное, получится четное (3 * 2 = 6)
При умножении нечетного на нечетное, получится нечетное (3 * 5 = 15)
ответы:
1) все четные останутся четными, все нечетные останутся нечетными (изменение плюса на минус никак не влияет, математически, это остается сложением).
Результат -- нечетное число.
2) произведение любого количества нечетных на четное, дает четный результат.
А мы уже выяснили, что у нас есть минимум одно четное и минимум одно нечетное.
Результат -- четное число.
3) произведение 10 элементов + произведение 10 элементов.
ответ будет нечетным, если одно из слагаемых нечетно.
Одно из слагаемых будет нечетно, если там будет нечетное количество нечетных элементов.
Поскольку у нас 20 элементов и там живет нечетное количество нечетных, то как их не дели на 2 части, где-то их будет нечетное число, а где-то четное.
Будет одно из слагаемых четно, другое нечетно.
Результат -- нечетное число.
4) мы 10 чисел оставляем как есть и 10 чисел превращаем в четные.
Предположим, у нас изначально было одно нечетное число.
Если оно было первым -- оно превратится в четное. Результат станет четным.
Если оно было вторым -- оно останется нечетным. Результат останется нечетным.
Результат -- либо четное, либо нечетное число.
1. Сумма нескольких чисел будет нечётной, если количество нечётных чисел среди них нечётное.
2. Умножение нескольких чисел будет чётным, если хотя бы одно из них чётное.
3. Сумма нескольких чисел будет чётной, если количество нечётных чисел среди них чётное.
Теперь рассмотрим каждое выражение по очереди:
1. Выражение n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20. Каждое слагаемое здесь имеет вид ni-3ni. Числа ni и -3ni имеют одинаковую чётность, так как можно представить -3 в виде -3= (-1) * 3. Поэтому чётность каждого слагаемого не меняется, и сумма этих слагаемых тоже будет иметь ту же чётность, что и каждое слагаемое. Так как известно, что сумма 20 чисел нечётна, то в этом выражении должно быть нечётное количество нечётных слагаемых. Следовательно, выражение n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20 заведомо будет иметь нечётную чётность.
2. Выражение n1⋅n2⋅…⋅n20. В этом выражении произведение всех чисел приводит к чётности результата. Даже если одно из чисел нечётное, произведение все равно будет иметь чётность. Поэтому выражение n1⋅n2⋅…⋅n20 заведомо будет иметь чётную чётность.
3. Выражение n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20. В этом выражении мы имеем два произведения, первое из которых содержит только первые 10 чисел, а второе включает оставшиеся 10 чисел. По свойству умножения, если хотя бы одно из чисел каждого из произведений чётное, то результат будет иметь чётную чётность. Поскольку первое произведение содержит только половину чисел, второе произведение также содержит хотя бы одно чётное число (так как в сумме 20 чисел нечётное количество чисел). Следовательно, выражение n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20 заведомо будет иметь чётную чётность.
4. Выражение 2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20. В этом выражении каждое слагаемое может быть представлено в виде 2ni, где ni - целое число. Умножение числа на 2 не меняет его чётность. Поэтому каждое слагаемое в сумме будет иметь чётность такую же, как и само ni. Поскольку сумма 20 чисел нечётна, в этом выражении должно быть нечётное количество нечётных слагаемых. Следовательно, выражение 2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20 заведомо будет иметь нечётную чётность.
Таким образом, выражение n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20 - заведомо нечётное;
выражение n1⋅n2⋅…⋅n20 - заведомо чётное;
выражение n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20 - заведомо чётное;
выражение 2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20 - заведомо нечётное.