В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
dmitryveris
dmitryveris
12.02.2021 17:40 •  Математика

Известно что у двух многочленов pn(x) и qm(x) с целыми коэффициентами сумма этих коэффициентов одинакова. доказать что pn((2017) делится без остатка на 2016

Показать ответ
Ответ:
nika12052006
nika12052006
05.10.2020 01:58
В общем виде можно написать, что

\displaystyle
P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k\\
Q_m(x) = \sum\limits_{k=0}^m b_k x^k

Рассмотрим Pn(2017) и перегруппируем члены

\displaystyle
P_n(2017) = P_n(2016+1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k (2016+1)^k = \\
= \sum\limits_{k=0}^n \left[a_k (2016+1)^k-1\right] + \sum\limits_{k=0}^n a_k

Вторая сумма и есть сумма всех коэффициентов. Несложно показать, что первая сумма делится на 2016. Рассмотрим любое ее слагаемое и разложим двучлен по формуле бинома Ньютона

\displaystyle
a_k[(2016+1)^k-1] = a_k\sum\limits_{l=1}^kC^l_k\cdot2016^l = 2016\sum\limits_{l=0}^{k-1}C^{l+1}_{k}\cdot2016^l

Итак, общий множитель вынесся, а под суммой стоят только целые числа,так что все хорошо.

Аналогично мы разложим многочлен Qm(2017) и тоже представим его в виде чего-то, что делится на 2016 и суммы его коэффициентов. Когда мы посмотрим на разницу Pn(2017)-Qm(2017), суммы коэффициентов этих многочленов друг друга уничтожат и останется разность двух сумм, каждая из которых делится на 2016. Значит и разность будет делиться на 2016
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота