К бассейну проведены трубы A B C D E. Через трубы типа 1 бассейн наполняется, через трубы типа 2 - опустошается. Если труба забилась и не влияет на наполнение\опустошение бассейна, у нее тип 0. Изначально бассейн был пустой. Если открыть четыре трубы без А, бассейн наполнится за 4 часа, если открыть четыре без B - за 2 часа, если открыть четыре без С - за час, если открыть четыре без D за 3 часа, если открыть четыре без Е - за 6 часов. За сколько секунд наполнится бассейн, если открыть все пять труб? Определите тип каждой трубы (0,2 или 1) труба A: труба В: труба С: труба D: труба Е:
1.Пусть производительность второй трубы будет 1/х, а производительность первой трубы - 1/у. Тогда по условию разность в 4 часа описывается уравнением:
\frac{1}{y} - \frac{1}{x} =4
y
1
−
x
1
=4
2. Наполнение бассейна происходило в течение 7+2=9 часов, причём сначала одной первой, затем двумя трубами. Это описывается уравнением:
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y} =9
x
1
+
x+y
1
=9
3. Если объединить полученные два уравнения в систему, то получится, что:
$$\begin{lgathered}\left[\begin{array}{ccc}x=-0.5; y=0.5\\x=\frac{1}{5}; y= \frac{1}{9} \\\end{array}\end{lgathered}$$
Отсюда получается один ответ (производительность только положительная): х=1/5, а у=1/9.
4. Зная производительности, находим, что для первой трубы время равно: 1:(1/9)=9 часов.
Шаг 1: Введение переменных
Давайте введем переменные для представления времени, за которое бассейн наполняется/опустошается через каждую трубу. Обозначим эти переменные следующим образом:
- Время для наполнения бассейна через трубу А: a
- Время для наполнения бассейна через трубу B: b
- Время для наполнения бассейна через трубу C: c
- Время для наполнения бассейна через трубу D: d
- Время для наполнения бассейна через трубу E: e
Шаг 2: Запись уравнений
Используя данные условия задачи, мы можем записать следующие уравнения:
- Если открыть четыре трубы без А, бассейн наполнится за 4 часа:
b + c + d + e = 4
- Если открыть четыре трубы без B, бассейн наполнится за 2 часа:
a + c + d + e = 2
- Если открыть четыре трубы без С, бассейн наполнится за час:
a + b + d + e = 1
- Если открыть четыре трубы без D, бассейн наполнится за 3 часа:
a + b + c + e = 3
- Если открыть четыре трубы без E, бассейн наполнится за 6 часов:
a + b + c + d = 6
Шаг 3: Решение уравнений
Теперь, используя эти уравнения, мы можем решить систему уравнений методом подстановки или методом сложения и вычитания. Для упрощения вычислений, давайте приведем все уравнения к одной общей форме, выразив их через единицу времени (часы).
Для этого:
- Уравнение 1 домножим на 2:
2b + 2c + 2d + 2e = 8
- Уравнение 2 оставим без изменений:
a + c + d + e = 2
- Уравнение 3 домножим на 2:
2a + 2b + 2d + 2e = 2
- Уравнение 4 умножим на 2:
2a + 2b + 2c + 2e = 6
- Уравнение 5 оставим без изменений:
a + b + c + d = 6
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
2b + 2c + 2d + 2e = 8 (Уравнение 1)
a + c + d + e = 2 (Уравнение 2)
2a + 2b + 2d + 2e = 2 (Уравнение 3)
2a + 2b + 2c + 2e = 6 (Уравнение 4)
a + b + c + d = 6 (Уравнение 5)
Давайте решим эту систему уравнений:
Мы можем решить уравнения 2 и 5 умножением уравнения 2 на 2 и вычитанием его из уравнения 5:
(a + b + c + d) - 2(a + c + d + e) = 6 - 4
a + b - 2e = 2
Теперь у нас есть новое уравнение:
a + b - 2e = 2 (Уравнение 6)
Мы также можем выразить e через a и b из уравнения 3, 4 и 6:
2a + 2b + 2d + 2(e) = 2
2a + 2b + 2c + 2(e) = 6
a + b - 2(e) = 2
Из первых двух уравнений вычтем третье:
2(a) + 2(b) + 2(d) + 2(e) - (a + b - 2(e)) - (2a + 2b + 2c + 2(e) - a - b + 2(e)) = 2 - 6
Из этого уравнения, мы можем выразить d:
2d - 6e = -4
d - 3e = -2 (Уравнение 7)
Шаг 4: Нахождение e
Теперь, используя уравнение 7, мы можем выразить e через d:
d - 3e = -2
e = (d + 2) / 3
Шаг 5: Нахождение a, b, c
Снова используя уравнения 3 и 4, мы можем выразить a и b через e и d:
2a + 2b + 2d + 2e = 2
2a + 2b + 2c + 2e = 6
Вычтем первое уравнение из второго:
2c = 4
c = 2
Тогда:
2a + 2b + 2d + 2e = 2
2a + 2b + 4 + 2e = 6
2a + 2b + 2e = 2
Вычтем эту новую систему уравнений из уравнения 5:
a + b + c + d = 6
(a + b + c + d) - (2a + 2b + 2e) = 6 - 2
Из этого уравнения, мы можем выразить d:
d = 4 - c = 4 - 2 = 2
Тогда:
2a + 2b + 2e = 2
Шаг 6: Подстановка значений
Теперь, используя значения d и c, мы можем выразить a, b и e:
a = (2 - 2b - 2e) / 2
e = (d + 2) / 3 = (2 + 2) / 3 = 4 / 3
a = (2 - 2b - 2e) / 2 = (2 - 2b - 2(4/3)) / 2 = (2 - 2b - 8/3) / 2 = (6 - 6b - 8) / 6 = (14 - 6b) / 6
(b - 7) / 3 = a
Шаг 7: Подстановка значения e
Теперь, используя найденные значения a и e, мы можем выразить b:
(b - 7) / 3 = a
b - 7 = 3a
b = 3a + 7
Шаг 8: Поиск значения a
Теперь, используя найденные значения b и e, мы можем выразить a:
2a + 2b + 2e = 2
2a + 2(3a + 7) + 2(4/3) = 2
2a + 6a + 14 + 8/3 = 2
2a + 6a + 14 + 8/3 = 2
(8 + 24 + 42/3) / 3 = 2
(24 + 42/3) / 3 = 2
(72 + 42) / 3 = 6
(72 + 42) = 18
6a = -6
a = -1
Шаг 9: Нахождение значения b
Теперь, используя найденные значения a, мы можем выразить b:
b = 3a + 7 = 3(-1) + 7 = 4
Шаг 10: Подсчет времени наполнения бассейна с пятью трубами
Теперь, когда у нас есть значения для всех переменных, мы можем вычислить сколько времени займет наполнение бассейна с пятью трубами:
a + b + c + d + e = -1 + 4 + 2 + 2 + 4/3 = 2 + 2 + 8/3 = 14/3
Шаг 11: Определение типа трубы
Мы можем определить тип каждой трубы, используя значения a, b, c, d и e.
- Труба A: тип 1, так как время для наполнения бассейна через трубу А (a) отрицательное (-1).
- Труба В: тип 1, так как время для наполнения бассейна через трубу B (b) положительное (4).
- Труба С: тип 1, так как время для наполнения бассейна через трубу C (c) положительное (2).
- Труба D: тип 1, так как время для наполнения бассейна через трубу D (d) положительное (2).
- Труба E: тип 2, так как время для наполнения бассейна через трубу E (e) положительное (4/3).
Итак, бассейн наполнится за 14/3 часа, если открыть все пять труб. Труба A имеет тип 1, труба В имеет тип 1, труба С имеет тип 1, труба D имеет тип 1, а труба E имеет тип 2.