Математика: Как это решить? натолкните на мысль 3(x^2y+y)dy+(2+y^2)^(1/2)dx=0

Ииииии... нет, это не уравнение в полных дифференциалах как казалось на первый взгляд,тогда пробуем разделитьЭто общий интеграл, можно конечно вытащить у, но:Вы уже понимаете ,что ну не очень вид...Получено исходное выражение, значится ответ правильный....

Как это решить? натолкните на мысль 3(x^2y+y)dy+(2+y^2)^(1/2)dx=0

Показать ответ

Ответ:

ErikLusenko

01.09.2020 06:59

$(2+y^2)^{\frac{1}{2}}dx+3(x^2y+y)dy=0\\P=(2+y^2)^{\frac{1}{2}}\ Q=3(x^2y+y)\\\frac{\delta P}{\delta y}=\frac{1}{2}(2+y^2)^{-\frac{1}{2}}*2y=(2+y^2)^{-\frac{1}{2}}*y\\\frac{\delta Q}{\delta x}=3*2yx=6yx$
Ииииии... нет, это не уравнение в полных дифференциалах как казалось на первый взгляд,тогда пробуем разделить
$(2+y^2)^{\frac{1}{2}}dx+3(x^2y+y)dy=0\\(2+y^2)^{\frac{1}{2}}dx+3y(x^2+1)dy=0|:ydydx\\\frac{(2+y^2)^{\frac{1}{2}}}{ydy}+\frac{3(x^2+1)}{dx}=0\\\frac{ydy}{(2+y^2)^{\frac{1}{2}}}=-\frac{dx}{3(x^2+1)}\\\int\frac{ydy}{(2+y^2)^{\frac{1}{2}}}=-\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x^2+1}\\\frac{1}{2}\int(2+y^2)^{-\frac{1}{2}}d(2+y^2)=-\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x^2+1}\\(2+y^2)^\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}arctgx+C\\(2+y^2)^\frac{1}{2}+\frac{1}{3}arctgx=C$
Это общий интеграл, можно конечно вытащить у, но:
$2+y^2=(-\frac{1}{3}arctgx+C)^2\\y^2=(-\frac{1}{3}arctgx+C)^2-2\\y=^+_-\sqrt{(-\frac{1}{3}arctgx+C)^2-2}$
Вы уже понимаете ,что ну не очень вид...
$(2+y^2)^\frac{1}{2}+\frac{1}{3}arctgx=C\\((2+y^2)^\frac{1}{2}+\frac{1}{3}arctgx)'=C'\\\frac{y}{(2+y^2)^\frac{1}{2}}dy+\frac{1}{3(1+x^2)}dx=0|*(2+y^2)^\frac{1}{2}*3(1+x^2)\\3y(1+x^2)dy+(2+y^2)^\frac{1}{2}dx=0\\3(x^2y+y)dy+(2+y^2)^\frac{1}{2}dx=0$
Получено исходное выражение, значится ответ правильный.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика