Чтобы найти решения неравенства, необходимо разложить выражение на множители и определить интервалы значений переменной x, при которых все множители неравенства меньше или равны нулю.
Дано неравенство: (x-2)(x+9)(x-1)(x-9) ≤ 0
1. Разложим множители на множители:
(x-2)(x+9)(x-1)(x-9) = (x-2)(x-1)(x+9)(x-9)
2. Определяем значения x, при которых каждый множитель неравенства меньше или равен нулю:
- Множитель (x-2) меньше или равен нулю, когда x ≤ 2.
- Множитель (x-1) меньше или равен нулю, когда x ≤ 1.
- Множитель (x+9) меньше или равен нулю, когда x ≤ -9.
- Множитель (x-9) меньше или равен нулю, когда x ≤ 9.
3. Теперь устанавливаем знаки неравенства для каждого интервала:
- Если x ≤ -9, то знак неравенства будет "≥".
- Если -9 ≤ x ≤ 1, то знак неравенства будет "≤".
- Если 1 ≤ x ≤ 2, то знак неравенства будет "≥".
- Если x ≥ 2, то знак неравенства будет "≤".
4. Полученные интервалы значений объединяем, чтобы найти общий интервал, при котором все множители неравенства меньше или равны нулю. Для этого применим метод испытаний знаков:
- Выбираем точку вне каждого интервала и подставляем ее в неравенство.
- Для x < -9 проверим точку x = -10: (-10-2)(-10-1)(-10+9)(-10-9) = (-12)(-11)(-1)(-19) = -25 924 < 0. То есть вне интервала (-∞, -9) неравенство не выполняется.
- Для -9 < x < 1 проверим точку x = 0: (0-2)(0-1)(0+9)(0-9) = (-2)(-1)(9)(-9) = -1458 < 0. То есть вне интервала (-9, 1) неравенство не выполняется.
- Для 1 < x < 2 проверим точку x = 1.5: (1.5-2)(1.5-1)(1.5+9)(1.5-9) = (-0.5)(0.5)(10.5)(-7.5) = 0.5 > 0. То есть в интервале (1, 2) неравенство выполняется.
- Для x > 2 проверим точку x = 3: (3-2)(3-1)(3+9)(3-9) = (1)(2)(12)(-6) = -144 < 0. То есть вне интервала (2, +∞) неравенство не выполняется.
5. Итак, решением данного неравенства является интервал (1, 2].
Таким образом, числа, принадлежащие интервалу (1, 2] являются решениями данного неравенства. Обратите внимание, что у решений нет единственного значения, а представлены интервалом.
Дано неравенство: (x-2)(x+9)(x-1)(x-9) ≤ 0
1. Разложим множители на множители:
(x-2)(x+9)(x-1)(x-9) = (x-2)(x-1)(x+9)(x-9)
2. Определяем значения x, при которых каждый множитель неравенства меньше или равен нулю:
- Множитель (x-2) меньше или равен нулю, когда x ≤ 2.
- Множитель (x-1) меньше или равен нулю, когда x ≤ 1.
- Множитель (x+9) меньше или равен нулю, когда x ≤ -9.
- Множитель (x-9) меньше или равен нулю, когда x ≤ 9.
3. Теперь устанавливаем знаки неравенства для каждого интервала:
- Если x ≤ -9, то знак неравенства будет "≥".
- Если -9 ≤ x ≤ 1, то знак неравенства будет "≤".
- Если 1 ≤ x ≤ 2, то знак неравенства будет "≥".
- Если x ≥ 2, то знак неравенства будет "≤".
4. Полученные интервалы значений объединяем, чтобы найти общий интервал, при котором все множители неравенства меньше или равны нулю. Для этого применим метод испытаний знаков:
- Выбираем точку вне каждого интервала и подставляем ее в неравенство.
- Для x < -9 проверим точку x = -10: (-10-2)(-10-1)(-10+9)(-10-9) = (-12)(-11)(-1)(-19) = -25 924 < 0. То есть вне интервала (-∞, -9) неравенство не выполняется.
- Для -9 < x < 1 проверим точку x = 0: (0-2)(0-1)(0+9)(0-9) = (-2)(-1)(9)(-9) = -1458 < 0. То есть вне интервала (-9, 1) неравенство не выполняется.
- Для 1 < x < 2 проверим точку x = 1.5: (1.5-2)(1.5-1)(1.5+9)(1.5-9) = (-0.5)(0.5)(10.5)(-7.5) = 0.5 > 0. То есть в интервале (1, 2) неравенство выполняется.
- Для x > 2 проверим точку x = 3: (3-2)(3-1)(3+9)(3-9) = (1)(2)(12)(-6) = -144 < 0. То есть вне интервала (2, +∞) неравенство не выполняется.
5. Итак, решением данного неравенства является интервал (1, 2].
Таким образом, числа, принадлежащие интервалу (1, 2] являются решениями данного неравенства. Обратите внимание, что у решений нет единственного значения, а представлены интервалом.