Для определения коллинеарности векторов, необходимо проверить, можно ли один из векторов выразить через другие с помощью умножения на некоторую константу.
Для этого вы можете воспользоваться двумя способами: выразить векторы через их координаты и сравнить их отношения, или использовать свойство линейной зависимости векторов.
1. Первый способ:
Линейно зависимые векторы должны иметь одинаковые отношения между своими координатами. То есть для векторов a, b, c, p и q мы должны иметь следующие равенства:
Мы видим, что для абсолютно всех пар векторов соотношения идентичны, поэтому векторы a, b, c, p и q коллинеарны.
2. Второй способ:
Также мы можем использовать свойство линейной зависимости векторов. Векторы a, b, c, p и q будут коллинеарны, если существуют такие константы x, y, z, t и u, что:
a = x * b + y * c + z * p + t * q + u
Подставим значения векторов:
(3; -2; 1) = x * (6; -8; 4) + y * (6; -4; 2) + z * (1.5; -1; 0.5) + t * (-3; 4; -2) + u
Разложим выражение по каждой координате:
3 = 6x + 6y + 1.5z - 3t + u
-2 = -8x - 4y - z + 4t
1 = 4x + 2y + 0.5z - 2t + u
Получаем систему уравнений:
6x + 6y + 1.5z - 3t + u = 3
-8x - 4y - z + 4t = -2
4x + 2y + 0.5z - 2t + u = 1
Для этого вы можете воспользоваться двумя способами: выразить векторы через их координаты и сравнить их отношения, или использовать свойство линейной зависимости векторов.
1. Первый способ:
Линейно зависимые векторы должны иметь одинаковые отношения между своими координатами. То есть для векторов a, b, c, p и q мы должны иметь следующие равенства:
a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃
a₁/c₁ = a₂/c₂ = a₃/c₃
a₁/p₁ = a₂/p₂ = a₃/p₃
a₁/q₁ = a₂/q₂ = a₃/q₃
Подставляем значения координат векторов:
a₁/b₁ = 3/6 = 1/2
a₂/b₂ = -2/-8 = 1/4
a₃/b₃ = 1/4
a₁/c₁ = 3/6 = 1/2
a₂/c₂ = -2/-4 = 1/2
a₃/c₃ = 1/2
a₁/p₁ = 3/1.5 = 2
a₂/p₂ = -2/-1 = 2
a₃/p₃ = 1/0.5 = 2
a₁/q₁ = 3/-3 = -1
a₂/q₂ = -2/4 = -1/2
a₃/q₃ = 1/-2 = -1/2
Мы видим, что для абсолютно всех пар векторов соотношения идентичны, поэтому векторы a, b, c, p и q коллинеарны.
2. Второй способ:
Также мы можем использовать свойство линейной зависимости векторов. Векторы a, b, c, p и q будут коллинеарны, если существуют такие константы x, y, z, t и u, что:
a = x * b + y * c + z * p + t * q + u
Подставим значения векторов:
(3; -2; 1) = x * (6; -8; 4) + y * (6; -4; 2) + z * (1.5; -1; 0.5) + t * (-3; 4; -2) + u
Разложим выражение по каждой координате:
3 = 6x + 6y + 1.5z - 3t + u
-2 = -8x - 4y - z + 4t
1 = 4x + 2y + 0.5z - 2t + u
Получаем систему уравнений:
6x + 6y + 1.5z - 3t + u = 3
-8x - 4y - z + 4t = -2
4x + 2y + 0.5z - 2t + u = 1
Решим данную систему уравнений:
| 6 6 1.5 -3 1 | | x | | 3 |
| -8 -4 -1 4 0 | * | y | = |-2 |
| 4 2 0.5 -2 1 | | z | | 1 |
Применим метод Гаусса-Жордана:
| 1 1 0.25 -0.5 0.25 | | x | | 0.5 |
| 0 4 2.5 -7 2.5 | * | y | = |-1.5 |
| 0 0 0 0 0 | | z | | 0 |
Из третьего уравнения видно, что z может принимать любые значения. Пусть z = u.
Тогда x = 0.5 - 1.25u, y = -1.5u.
Таким образом, мы видим, что бесконечное множество констант u, x, y, z, t верифицируют уравнение, а значит, эти векторы коллинеарны.
Вывод: Векторы a, b, c, p и q коллинеарны, так как существуют константы, с помощью которых один из этих векторов можно выразить через другие векторы.