Привет! Я с удовольствием помогу тебе исследовать функцию f(x) = x^3 - 3x и построить её график. Давай разберемся по порядку в каждом пункте вопроса.
1. Область определения D(y), D(f):
Область определения функции - это множество всех значений, которые может принимать переменная x. Уравнение x^3 - 3x не содержит никаких ограничений, поэтому область определения функции f(x) является множеством всех действительных чисел, то есть D(y) = (-∞, +∞).
2. Область значений E(y):
Область значений функции - это множество всех значений, которые может принимать переменная y. Подставим x = 0, чтобы найти минимальное значение функции: f(0) = 0^3 - 3*0 = 0. Это означает, что функция может принимать значения от 0 и больше, так как она монотонно возрастающая. Таким образом, область значений функции f(x) является множеством всех неотрицательных действительных чисел, то есть E(y) = [0, +∞).
3. Четность/нечётность:
Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить, сохраняется ли она свою форму при замене x на -x. Выполним эту замену: f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x.
- Если f(-x) = f(x), то функция является четной (симметричной относительно оси y).
- Если f(-x) = -f(x), то функция является нечетной (симметричной относительно начала координат).
Подставим значения и проверим:
f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x).
Таким образом, функция f(x) является нечетной.
4. Нули функции:
Нулями функции являются значения x, при которых f(x) = 0. Решим уравнение f(x) = 0:
x^3 - 3x = 0.
Факторизуем это уравнение: x(x^2 - 3) = 0.
Получаем два решения: x = 0 и x^2 - 3 = 0.
Решим второе уравнение: x^2 = 3. Извлечем корни: x = ±√3.
Таким образом, нулями функции f(x) являются x = 0 и x = ±√3.
5. Промежутки знакопостоянства:
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции f(x), нужно решить неравенство f(x) > 0 или f(x) < 0.
f(x) = x^3 - 3x.
f(x) > 0: x^3 - 3x > 0.
Проанализируем знаки на интервалах между нулями функции и на самостоятельных промежутках.
Для этого построим таблицу знаков исходного выражения в интервалах между нулями и на промежутках.
Интервал | (-∞, -√3) |-√3 | (-√3, 0) |0 | (0, √3) |√3 | (√3, +∞)
f(x) | - | + | - | 0 | + | + | +
Исходя из таблицы знаков, функция f(x) > 0 на промежутках (-∞, -√3) и (0, +∞), а f(x) < 0 на промежутке (-√3, 0).
6. Экстремумы:
Экстремумы функции - это значения x, при которых функция достигает своих минимальных или максимальных значений.
Чтобы найти экстремумы, найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 3.
Найдем значения x, при которых f'(x) = 0:
3x^2 - 3 = 0.
Факторизуем: 3(x^2 - 1) = 0.
Получаем два решения: x^2 - 1 = 0.
Решим второе уравнение: x^2 = 1. Извлечем корни: x = ±1.
Таким образом, точками экстремума функции f(x) являются x = 1 и x = -1.
7. Промежутки монотонности:
Чтобы найти промежутки монотонности функции f(x), нужно проанализировать знаки первой производной функции.
f'(x) = 3x^2 - 3.
Проанализируем знаки первой производной на интервалах между экстремумами и на самостоятельных промежутках.
Построим таблицу знаков первой производной в интервалах между экстремумами и на промежутках.
Интервал | (-∞, -1) |-1 | (-1, 1) |1 | (1, +∞)
f'(x) | - | 0 | + | 0 | +
Исходя из таблицы знаков, функция f(x) убывает на промежутках (-∞, -1) и (1, +∞), и возрастает на промежутке (-1, 1).
Теперь, когда мы проанализировали каждый пункт, давай построим график функции f(x) = x^3 - 3x:
```
|
| +
| +
| +
| -
|____________________________________
```
Надеюсь, что эта подробная информация помогла тебе лучше понять функцию и построить ее график. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать их!
