Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до його більшого катета й проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо катети трикутника дорівнюють 12 см і 16 см. А) 8 см; Б) 7,5 см; В) 8,5 см; Г) 6,5 см; Д) 7 см.

Дано: ΔABC — прямокутний, АВ і АС — катети, АВ=16 см, АС=12 см, коло(R;OC), т.О∈ВС, т.R — точка дотику кола до ΔАВС, т.R∈AB.

Знайти: радіус R кола.

Розв'язання.

1) Знайдемо гіпотенузу ВС ΔАВС за т.Піфагора:

АВ²+АС²=ВС²;

16²+12²=ВС²;

ВС²= 256+144;

ВС²= 400;

ВС= 20 см (–20 не задовольняє умові)

2) Проведемо радіус OR. R=OR=OC. Оскільки т.R — точка дотику, то OR⟂АВ.

3) Оскільки OR⟂AB і AB⟂AC (катети перпендикулярні), то OR||AC і трикутники ΔАВС і ΔRBO подібні за лемою.

(Лема про подібні трикутники: пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному)

4) ΔАВС подібний ΔRBO. Це означає, що відповідні сторони цих трикутників відносяться.

А тому справедливою буде така рівність:

АС/OR=BC/BO.

Нехай OR=OC=R (радіус, який потрібно знайти). Тоді ВО=ВС–ОС=ВС–R=20–R.

AC / R=BC / (BC–R);

12 / R= 20 / (20–R); (по пропорции решаем)

12(20–R)=20R;

240–12R=20R;

240=32R;

R= 240/32;

R= 15/2;

R= 7,5 (см)

Відповідь: 7,5 см.

ответ Б.