Контрольная работа № 1 по теме «множества». ii вариант 1. известно, что х ⋳ а⋃в. следует ли отсюда, что х⋳ а⋂в 2. изобразите при кругов эйлера а) b⋃c⋂a ; б) c ⋃ a \ b 3. найдите а ⋂ в ⋂ а ⋃ в, если: 1) а = {16; 18; 20; 22} в = {6; 8; 0; 2} 2) а = {a, в, с, d, k} в = {в, с, d, m} 3) а = {1,2,3,4,5,6} в = {2; 4; 6} 4. найдите объединение множество решений неравенств, в которых переменная – действительное число -7 ≤ х < 5 и -5 ≤ х ≤ 8 5. используя круги эйлера, проиллюстрируйте справедливость переместительного закона пересечения и объединения множеств. 6. запишите распределительный закон пересечения и объединения множеств. 7. найдите а ⋃ в \ а ⋂в, если а = {-1; 3} в = [-2; 2].
1. Известно, что х принадлежит объединению множеств а и в (х ⋳ а⋃в). Необходимо определить, следует ли отсюда, что х принадлежит пересечению множеств а и в (х⋳ а⋂в).
Для этого нужно вспомнить определение операций объединения и пересечения множеств. Объединение множеств а и в (обозначается символом "⋃") включает в себя все элементы, которые принадлежат как множеству а, так и множеству в. Пересечение множеств а и в (обозначается символом "⋂") включает в себя только элементы, которые одновременно принадлежат и множеству а, и множеству в.
В данном случае у нас есть информация, что х принадлежит объединению множеств а и в.
Если х принадлежит объединению множеств, то это означает, что х может принадлежать множеству а, множеству в или обоим множествам одновременно.
Но мы не можем точно утверждать, что х принадлежит пересечению множеств а и в, так как пересечение может быть пустым множеством.
Ответ: Нельзя сделать вывод о принадлежности х пересечению множеств а и в.
2. Теперь рассмотрим задачу на изображение при помощи кругов Эйлера.
а) b⋃c⋂a
Для начала построим круг Эйлера, в котором поместим все элементы множества a:
---
| a |
---
Затем нарисуем круг Эйлера, в который поместим все элементы множества c:
---
| a |
---
| c |
---
Теперь проведем пересечение (c⋂a) и поместим его внутрь круга с элементами множества c:
---
| a |
---
| c⋂a |
---
И, наконец, объединим это с множеством b:
---
| a |
---
| c⋂a |
---
| b |
---
Получаем итоговый круг Эйлера b⋃c⋂a.
б) c⋃a\б
Для начала построим круг Эйлера, в который поместим все элементы множества а:
---
| a |
---
Затем нарисуем круг Эйлера, в который поместим все элементы множества b:
---
| a |
---
| b |
---
Теперь проведем разность (a\б) и поместим ее внутри круга с элементами множества а:
---
| a\б |
---
| b |
---
И, наконец, объединим это с множеством c:
---
| a\б |
---
| b |
---
| c |
---
Получаем итоговый круг Эйлера c⋃a\б.
3. Найдем пересечение множеств а, в и а⋃в в каждом из предложенных примеров.
1) а = {16; 18; 20; 22} в = {6; 8; 0; 2}
а ⋂ в = { }
а ⋂ в ⋂ а ⋃ в = { }
2) а = {a, в, с, d, k} в = {в, с, d, m}
а ⋂ в = {в, с, d}
а ⋂ в ⋂ а ⋃ в = {в, с, d}
3) а = {1,2,3,4,5,6} в = {2; 4; 6}
а ⋂ в = {2, 4, 6}
а ⋂ в ⋂ а ⋃ в = {2, 4, 6}
4. Для нахождения объединения множеств, в которых переменная является действительным числом, и даны неравенства -7 ≤ х < 5 и -5 ≤ х ≤ 8, нужно составить объединение интервалов, заданных этими неравенствами.
Интервал, заданный неравенством -7 ≤ х < 5, выглядит следующим образом: (-7,5). Это означает, что переменная х принадлежит интервалу от -7 (не включая) до 5 (не включая).
Интервал, заданный неравенством -5 ≤ х ≤ 8, выглядит следующим образом: [-5, 8]. Это означает, что переменная х принадлежит интервалу от -5 (включая) до 8 (включая).
Объединяем данные интервалы, получаем объединение множеств решений:
(-7,5) ⋃ [-5, 8] = (-7, 8]
5. Для иллюстрации справедливости переместительного закона пересечения и объединения множеств воспользуемся кругами Эйлера.
Пусть у нас есть 3 множества: а, в и с. Рассмотрим следующие операции:
а) (а ⋂ в) ⋂ с и а ⋂ (в ⋂ с)
Первое действие: (а ⋂ в) ⋂ с
Сначала найдем пересечение множеств а и в: а ⋂ в
Затем найдем пересечение этого пересечения с множеством с: (а ⋂ в) ⋂ с
Результат поместим в круг Эйлера для данной операции.
Второе действие: а ⋂ (в ⋂ с)
Cначала найдем пересечение множеств в и с: в ⋂ с
Затем найдем пересечение множества а с этим пересечением: а ⋂ (в ⋂ с)
Результат поместим в круг Эйлера для данной операции.
Если два действия дадут одинаковый результат, то это будет означать, что переместительный закон пересечения выполняется для данных множеств.
б) (а ⋃ в) ⋃ с и а ⋃ (в ⋃ с)
Первое действие: (а ⋃ в) ⋃ с
Сначала найдем объединение множеств а и в: а ⋃ в
Затем найдем объединение этого объединения с множеством с: (а ⋃ в) ⋃ с
Результат поместим в круг Эйлера для данной операции.
Второе действие: а ⋃ (в ⋃ с)
Сначала найдем объединение множеств в и с: в ⋃ с
Затем найдем объединение множества а с этим объединением: а ⋃ (в ⋃ с)
Результат поместим в круг Эйлера для данной операции.
Если два действия дадут одинаковый результат, то это будет означать, что переместительный закон объединения выполняется для данных множеств.
6. Распределительный закон пересечения и объединения множеств определяет связь между этими операциями и операцией разности множеств.
Распределительный закон пересечения: а ⋂ (в ⋃ с) = (а ⋂ в) ⋃ (а ⋂ с)
Распределительный закон объединения: а ⋃ (в ⋂ с) = (а ⋃ в) ⋂ (а ⋃ с)
Эти законы устанавливают, что пересечение одного множества с объединением двух других множеств равно объединению пересечений этого множества с каждым из двух других множеств по отдельности. Аналогично, объединение одного множества с пересечением двух других множеств равно пересечению объединений этого множества с каждым из двух других множеств по отдельности.
7. Найдем разность множеств а и в, если а = {-1; 3} в = [-2; 2].
Запись а ⋃ в означает объединение множеств а и в, а запись а ⋂ в означает пересечение множеств а и в.
Сначала найдем пересечение множеств а и в: а ⋂ в
В данном случае вся логика аналогична неравенству: "х принадлежит интервалу от -1 (включая) до 3 (включая)".
Получаем пересечение множеств а и в: { -1, 3 }
Затем найдем объединение множеств а и в: а ⋃ в
Объединение множеств будет включать все элементы, которые принадлежат или множеству а, или множеству в (включая повторяющиеся).
Получаем объединение множеств а и в: { -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
Но в задании присутствует операция "\" (разность множеств). Эта операция вычитает из первого множества элементы, которые принадлежат второму множеству.
Поэтому для нахождения а ⋃ в \ а ⋂ в нужно вычесть из объединения множества а и в пересечение множества а и в.
Получаем итоговую разность: { -2, 0, 1, 2 }.
Ответ: а ⋃ в \ а ⋂ в = { -2, 0, 1, 2 }.
Я надеюсь, что явно объяснил каждый шаг и помог вам с пониманием решения задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их мне!