Старинная русская мера массы пуд равна 16,38 кг. Округлите это значение до целых,до десятых. Старинная русская мера длины верста равна 1067м.Округлите это значение до десятков,до сотен.Старинная русская мера длины сажень равна 2,13м. Округлите это значение до целых ,до метров
Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \sqrt 6.
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть A_1 и B_1 - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и A_1 B_1 C равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.
A_1 B_1 \parallel CD,
Tочка М - середина CD.Очевидно, O_1 M\perp CD
Обозначим O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.
Тогда OM=AD=2r.
В треугольнике OO_1 M гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета O_1 M .
Значит, ∠O_1 OM=30^{\circ}, ∠OMO_1=60^{\circ} . Угол ∠OMO_1 - это угол между плоскостями (ABC) и ( A_1 B_1 C) .
б) Пусть длина образующей цилиндра AA_1=\sqrt 6 ,
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, F_1 – проекция точки F на плоскость A_1 B_1C.
В пункте (а) мы нашли, что OM =2r. Тогда OO_1= AA_1=r\sqrt 3 - образующая цилиндра.
Поскольку AA_1=\sqrt 6, найдем r=\sqrt 2.
Теперь нам известны стороны квадрата. AD=BC=AB=2\sqrt 2.
Диагональ квадрата АВСD в \sqrt 2 раз больше его стороны, поэтому BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4 .
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
Старинная русская мера массы пуд равна 16,38 кг. Округлите это значение до целых,до десятых. Старинная русская мера длины верста равна 1067м.Округлите это значение до десятков,до сотен.Старинная русская мера длины сажень равна 2,13м. Округлите это значение до целых ,до метров
Решение
(до целых) пуд равен 16,38 кг = 16 кг
(до десятых) пуд равен 16,38 кг = 16,4 кг
(до десятков) длина версты равна 1067м = 1070 м
(до сотен) длина версты равна 1067м = 1100 м
(до целых) длина сажени равна 2,13м = 2м
(до метров) длина сажени равна 2,13м = 2м
Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \sqrt 6.
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть A_1 и B_1 - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и A_1 B_1 C равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.
A_1 B_1 \parallel CD,
Tочка М - середина CD.Очевидно, O_1 M\perp CD
Обозначим O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.
Тогда OM=AD=2r.
В треугольнике OO_1 M гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета O_1 M .
Значит, ∠O_1 OM=30^{\circ}, ∠OMO_1=60^{\circ} . Угол ∠OMO_1 - это угол между плоскостями (ABC) и ( A_1 B_1 C) .
б) Пусть длина образующей цилиндра AA_1=\sqrt 6 ,
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, F_1 – проекция точки F на плоскость A_1 B_1C.
В пункте (а) мы нашли, что OM =2r. Тогда OO_1= AA_1=r\sqrt 3 - образующая цилиндра.
Поскольку AA_1=\sqrt 6, найдем r=\sqrt 2.
Теперь нам известны стороны квадрата. AD=BC=AB=2\sqrt 2.
Диагональ квадрата АВСD в \sqrt 2 раз больше его стороны, поэтому BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4 .
Из ∆A_1 B_1 D :
B_1D=\sqrt{(2r)^2+r^2}=r\sqrt{5}=\sqrt{10},
\cos \angle A_1B_1D=\frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}};
\angle A_1F_1B_1=90^{\circ} (опирается на диаметр A_1B_1),
B_1F_1=A_1B_1\cdot \cos \angle A_1B_1D=2r\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}};
Тогда
F_1D=B_1D-B_1F_1=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5};
\Delta BB_1D\sim \Delta FF_1D;
\frac{B_1D}{F_1D}=\frac{BD}{FD};\ FD=\frac{F_1D\cdot BD}{B_1D}=\frac{\sqrt{10}\cdot 4}{5\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{5};
BF=BD-FD=4-\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.
ВF – это часть отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра. Она равна \frac{16}{5}.
б) \frac{16}{5}
Поделиться страницей
Это полезно
© ЕГЭ-Студия
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.