Метод Лагранжа для линейных уравнения состоит из двух шагов
1) Убираем неоднородную часть, и решаем однородное уравнение. Т.к. уравнение второго порядка, мы должны получить два независимых решения.
y'' + 16y = 0 Решение однородного уравнения ищем в виде: y = exp(kx), тогда y'' = k^2 exp(kx). Подставим в уравнение: k^2 exp(kx) + 16 exp(kx) = 0 ( k^2 + 16 ) exp(kx) = 0 exp(kx) не равна нулю, разделим на нее: k^2 = - 16 k = (+/-)4i То есть получили два независимых решения однородного уравнения. y(x) = C1 exp(4ix) + C2 exp(-4ix) Два независимых решения с двумя неопределенными константами. Перейдем к другим независимым решениям и константам (расписывая экспоненту exp(ix) = cos(x) + i sin(x)): yo = C1 exp(4ix) + C2 exp(-4ix) = [C1+C2]cos(4x) + i[C1-C2]sin(4x) C1+C2 = A и i[C1+C2] = B - новые независимые константы (на самом деле к новым функциям и константам переходить не обязательно. Просто синусы и косинусы сразу реальные, а от мнимых экспонент не всегда потом легко избавиться)
yo(x) = A y1(x) + B y2(x) - решение однородного уравнения. y1(x) = cos(4x), y2(x) = sin(4x) - независимые решения
2) Дальше воспользуемся методом Лагранжа (метод вариации постоянных) Решение исходного уравнения будем искать в виде: y(x) = A(x) y1(x) + B(x) y2(x) A, B - функции, которые надо найти, решив систему: A'(x) y1(x) + B'(x) y2(x) = 0 A'(x) y1'(x) + B'(x) y2'(x) = 2sin(4x) для производных A' и B' получили систему двух уравнений и двух неизвестных. От сюда легко найти A'(x) и B'(x) Затем интегрируем (не забываем константы интегрирования), и получаем искомые функции и конечный ответ. Удачи вам :)
1) Убираем неоднородную часть, и решаем однородное уравнение. Т.к. уравнение второго порядка, мы должны получить два независимых решения.
y'' + 16y = 0
Решение однородного уравнения ищем в виде:
y = exp(kx), тогда y'' = k^2 exp(kx). Подставим в уравнение:
k^2 exp(kx) + 16 exp(kx) = 0
( k^2 + 16 ) exp(kx) = 0
exp(kx) не равна нулю, разделим на нее:
k^2 = - 16
k = (+/-)4i
То есть получили два независимых решения однородного уравнения.
y(x) = C1 exp(4ix) + C2 exp(-4ix)
Два независимых решения с двумя неопределенными константами.
Перейдем к другим независимым решениям и константам (расписывая экспоненту exp(ix) = cos(x) + i sin(x)):
yo = C1 exp(4ix) + C2 exp(-4ix) = [C1+C2]cos(4x) + i[C1-C2]sin(4x)
C1+C2 = A и i[C1+C2] = B - новые независимые константы
(на самом деле к новым функциям и константам переходить не обязательно. Просто синусы и косинусы сразу реальные, а от мнимых экспонент не всегда потом легко избавиться)
yo(x) = A y1(x) + B y2(x) - решение однородного уравнения.
y1(x) = cos(4x), y2(x) = sin(4x) - независимые решения
2) Дальше воспользуемся методом Лагранжа (метод вариации постоянных)
Решение исходного уравнения будем искать в виде:
y(x) = A(x) y1(x) + B(x) y2(x)
A, B - функции, которые надо найти, решив систему:
A'(x) y1(x) + B'(x) y2(x) = 0
A'(x) y1'(x) + B'(x) y2'(x) = 2sin(4x)
для производных A' и B' получили систему двух уравнений и двух неизвестных. От сюда легко найти A'(x) и B'(x)
Затем интегрируем (не забываем константы интегрирования), и получаем искомые функции и конечный ответ. Удачи вам :)