Легкая олимпиадная задачка: В стране каждый город соединен с тремя другими автобусным маршрутом. Изначально все маршруты были государственными. Часть маршрутов передали двум частным кампаниям. Теперь, чтобы проехать по любому замкнутому маршруту, требуются услуги обеих частных кампаний. Докажите, что найдется город, из которого не выехать на государственных автобусах.
a) -8х - 3х = -105 + 17
-11х = -88
х = (-88) : (-11)
х = 8
б) 4x - 2 = 2x + 6
4x - 2x = 2 + 6
2x = 8
x = 8:2
x = 4
в) -2(2 - 5х) = 2(х - 3) - 5
-4 + 10х = 2х - 6 - 5
10х - 2х = -11 + 4
8х = -7
х = -7/8
г) 2(2 + у) = 19 - 3у
4 + 2у = 19 - 3у
3у + 2у = 19 - 4
5у = 15
у = 15 / 5
у = 3
д) -4,92y - (0,08y + 5,12) = -0,88 - y;
-4,92у - 0,08у - 5,12 = -0,88 - у;
-4,92у - 0,08у + у = -0,88 + 5,12;
-5у + у = -0,88 + 5,12;
-4у = 4,24;
у = 4,24 : (-4);
у = -1,06.
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств. Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):
число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
Основные свойства
Свойство антирефлексивности, выражающееся в том, что для любого числа a неравенства a<a и a>a – неверные.
Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство a−a=0, откуда в силу разностного определения равных чисел следует равенство a=a. Следовательно, a<a и a>a – неверные неравенства.
Например, 3<3 и - неверные неравенства.
если a>b, то b<a.
Обоснуем его, обратившись к данному выше определению отношений «больше» и «меньше». Начнем с первой части. Так как a<b, то a−b – отрицательное число. При этом b−a=−(a−b) – положительное число, как число, противоположное отрицательному числу a−b. Следовательно, b>a. Аналогично доказывается и вторая часть рассматриваемого свойства.
Свойство транзитивности: если числа a, b и c таковы, что a<b и b<c, то a<c, и если a>b и b>c, то a>c.
Докажем его первое утверждение. Условия a<b и b<c означают, что a−b и b−c – отрицательные числа. Разность a−c можно представить как (a−b)+(b−c), а это есть отрицательное число как сумма двух отрицательных чисел a−b и b−c, что следует из правила сложения отрицательных чисел. Таким образом, a−c – отрицательное число, откуда следует, что a<c, что и требовалось доказать. Абсолютно аналогично доказывается и вторая часть свойства транзитивности.
Пошаговое объяснение: