Лейла подсчитала периметры и площади прямоугольников, увеличивая каждый раз заданные раз-
меры в 2 раза, и составила
Длина | Ширина Периметр | Площадь
таблицу. Каковы будут пери- Заданные
2м 1м 6м 2 м2
размеры
метр и площадь при 5-ом уве- 1-е увеличение 4м 2м 12м 8м2
личении исходя из таблицы? 2-е увеличение
9%
Пошаговое объяснение:
Итак, у нас есть 2 станка, отказывающие с вероятностями p1 и p2 соответственно.
Событие X0 = (0 станков отказали) = (Все станки работают). Его можно записать как произведение событий X0=
¯
A1
⋅
¯
A2
, поэтому вероятность
P(X0)=P(
¯
A1
⋅
¯
A2
)=P(
¯
A1
)⋅P(
¯
A2
)=q1⋅q2.(1)
Событие X1 = (1 станок отказал). Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый станок откажет (событие A1) и одновременно с этим второй станок работает (событие
¯
A2
), то есть получили произведение событий A1⋅
¯
A2
.
2. Когда второй станок откажет (событие A2) и одновременно с этим первый станок работает (событие
¯
A1
), то есть получили произведение событий
¯
A1
⋅A2.
Так как других вариантов нет, а эти два варианта - несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P(X1)=P(A1⋅
¯
A2
+
¯
A1
⋅A2)=P(A1⋅
¯
A2
)+P(
¯
A1
⋅A2)=
дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки:
=P(A1)⋅(
¯
A2
)+P(
¯
A1
)⋅P(A2)=p1⋅q2+q1⋅p2.
Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного отказавшего станка из двух:
P(X1)=p1⋅q2+q1⋅p2.(2)
Событие X2 = (2 станка отказали). Его можно записать как произведение событий X2=A1⋅A2, поэтому вероятность
P(X2)=P(A1⋅A2)=P(A1)⋅P(A2)=p1⋅p2.(3)
Теория: случай 3 станков
Быстренько обобщим наши формулы для случая 3 станков, отказывающих с вероятностями p1, p2 и p3.
Ни один станок не отказал:
P(X0)=P(
¯
A1
⋅
¯
A2
⋅
¯
A3
)=P(
¯
A1
)⋅P(
¯
A2
)⋅P(
¯
A3
)=q1⋅q2⋅q3.(4)
В точности один станок отказал, остальные два - нет:
P(X1)==P(A1)⋅P(
¯
A2
)⋅P(
¯
A3
)+P(
¯
A1
)⋅P(A2)⋅P(
¯
A3
)+P(
¯
A1
)⋅P(
¯
A2
)⋅P(A3)==p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3.(5)
В точности два станка отказали, а один - работает:
P(X2)==P(A1)⋅P(A2)⋅P(
¯
A3
)+P(A1)⋅P(
¯
A2
)⋅P(A3)+P(
¯
A1
)⋅P(A2)⋅P(A3)==p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3.(6)
Все три станка отказали:
P(X3)=P(A1⋅A2⋅A3)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=p1⋅p2⋅p3.(7)
Практика: укрощаем станки
Пример 1. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок проработает смену без наладки, равна 0,9, а второй – 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба станка проработают смену без наладки, б) оба станка за смену потребуют наладки.
Итак, случай с 2 станками, используем формулы (1) и (3), чтобы найти искомые вероятности. Важно, какое событие мы считаем базовым: выше в теории мы использовали "станок откажет", тут же удобнее событие "станок проработает смену" (при этом формулы сохраняют вид, но легко использовать не ту, будьте внимательны).
Итак, пусть pi - вероятность i-му станку проработать смену без наладки. И нужные вероятности:
1) Оба станка проработают смену без наладки:
P(A1⋅A2)=P(A1)⋅P(A2)=p1⋅p2=0,9⋅0,8=
Расстояние между двумя селами 24 км. За первую неделю бригада заасфальтировала 5/8 этого расстояния. Сколько километров осталось заасфальтировать?
2. На ветке сидело 12 птиц, 2/3 их числа улетело. Сколько птиц осталось сидеть на ветке?
3. В классе 32 учащихся, 3/4 всех учащихся каталось на лыжах. Сколько учащихся не каталось на лыжах?
4. Велосипедисты за два дня проехали 48км. В первый день они проехали 2/3 всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?
5. Папа, имея 3500 руб., потратил 5/7 своих денег. Сколько денег у него осталось?
6. В тетради 24 страницы. Записи занимают 5/8 числа всех страниц тетради. Сколько в тетради чистых страниц?
7. Автотуристы за три дня проехали 360 км. В первый день они проехали 2/5 , а во второй день – 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?
8. В драмкружке занимается несколько мальчиков и 24 девочки. Число мальчиков составляет 3/8 числа девочек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке?
9. Какова сумма денег, если 12 руб., составляют 3/4 имеющейся суммы?
10. За первую неделю бригада заасфальтировала 15 км, что составило 5/8 расстояния между двумя селами. Каково расстояние между селами?
11. Определите длину отрезка, 3/5 которого имеют длину 15 см.
12. Сыну 10 лет. Его возраст составляет 2/7 возраста отца. Сколько лет отцу?
13. Дочери 12 лет. Её возраст составляет 2/5 возраста матери. Сколько лет матери?
14. За 1ч автобус проходит 1/6 всего расстояния. За сколько часов он пройдет все расстояние?
15. Мальчик за 10мин прочитал 1/5 всей книги. За какое время он может прочитать всю книгу?
16. В классе 18 мальчиков и 16 девочек. 2/9 мальчиков и 1/4 девочек занимаются в литературном кружке. Сколько учащихся занимается в литературном кружке?
17. У машинистки 120 листов бумаги. Она использовала сначала 1/3 всех листов, а потом 1/4 оставшихся. Сколько всего листов бумаги использовала машинистка?
18. Когда для компота нарезали 2/3 всех яблок, то осталось еще 4 яблока. Сколько всего было яблок?
19. У мальчика было 240 руб. Он потратил 1/4 этой суммы и 1/2 остатка. Сколько денег он потратил?
20. Было 1000 руб. На первую покупку потратили 1/5 этой суммы, а на вторую – 3/4 остатка. Сколько рублей осталось?
21. Когда прочитали 35 страниц, то осталось прочитать 2/7 книги. Сколько страниц в книге?
22. В первый день прочитали 2/5 , а во второй – 1/3 числа всех страниц книги. После этого осталось прочитать 80 страниц. Сколько всего страниц в книге?
23. Туристы за три дня км. В первый день они всего расстояния, а во второй день – 5/9 остатка. Сколько