Сторона квадрата описанного около окружности равна диаметру окружности, т.о. его площадь равна D^2 = (2*r)^2 = 4*r^2.
Случай с шестиугольником приведен на рисунке ниже. Каждый из треугольников равнобедренный, т.о. радиус - биссектриса каждого из них и в тоже время она является высотой, в прямоугольном треугольнике, образованном ей и "половинкой" треугольника угол при вершине равен 30 градусов, а против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы, т.о. y^2 = (y/2)^2 + r^2, y - гипотенуза. 3y^2 = 4*r^2 y^2 = 4/3 * r^2 y = 2*r/sqrt(3) А оставшийся катет получается равен r/sqrt(3)
Тогда площадь каждого из 6-ти исходных треугольников равна r/sqrt(3) * r = r^2/sqrt(3), а т.к. их 6, то площадь шестиугольника = = 6*r^2/sqrt(3)
Итого, отношение площадей = 6*r^2/sqrt(3) : r^2 = 2*sqrt(3)
Случай с шестиугольником приведен на рисунке ниже. Каждый из треугольников равнобедренный, т.о. радиус - биссектриса каждого из них и в тоже время она является высотой, в прямоугольном треугольнике, образованном ей и "половинкой" треугольника угол при вершине равен 30 градусов, а против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы, т.о.
y^2 = (y/2)^2 + r^2, y - гипотенуза.
3y^2 = 4*r^2
y^2 = 4/3 * r^2
y = 2*r/sqrt(3)
А оставшийся катет получается равен r/sqrt(3)
Тогда площадь каждого из 6-ти исходных треугольников равна
r/sqrt(3) * r = r^2/sqrt(3), а т.к. их 6, то площадь шестиугольника =
= 6*r^2/sqrt(3)
Итого, отношение площадей = 6*r^2/sqrt(3) : r^2 = 2*sqrt(3)
Построим треугольник АВС (Сторона АС=8 см.) Проведем к стороне АС высоту ВД (4 см) и медиану ВЕ (5 см). см. приложение.
1. Рассмотрим треугольник ВДЕ: угол ВДЕ=90 градусов. Катет ВД=4 см. Гипотенуза ВЕ=5 см
По теореме Пифагора найдем ДЕ:
ДЕ=√(ВЕ^2-ВД^2)= √(5^2-4^2)= √(25-16)= √9=3 см.
Так как ВЕ – медиана АЕ=СЕ=8/2=4 см.
Зная это найдем СД и АД:
СД=СЕ-ДЕ=4-3=1 см.
АД=АЕ+ДЕ=4+3=7 см.
2. Найдем сторону АВ.
Рассмотрим треугольник АВД – угол АДВ= 90 градусов. Катет АД=7см. Катет ВД=4 см.
По теореме Пифагора найдем АВ:
АВ=√(АД^2+ВД^2)= √(7^2+4^2)= √(49+16)= √65 см (приблизительно 8,06 см)
3. Найдем сторону ВС.
Рассмотрим треугольник ВСД – угол ВДС= 90 градусов. Катет СД=1см. Катет ВД=4 см.
По теореме Пифагора найдем АВ:
ВС=√(СД^2+ВД^2)= √(1^2+4^2)= √(1+16)= √15 см (приблизительно 3,87 см)
ответ: АВ= √65 см. ВС= √15 см