Очевидно, что если a≥b>0, то |a-b|+1=a-(b-1) не может быть больше, чем a. Иными словами, за каждый ход мы убираем два числа, заменяя их на одно ненулевое, но не большее, чем каждое из убранных. Поэтому, больше 16 мы получить не можем. Если последняя операция будет |16-1|+1, мы получим 16. Но можем ли мы этого добиться?
Заметим, что всего будет сделано 15 шагов. Сумма всех чисел вначале была четным числом, так как среди них четное число нечетных. Возможные исходы каждой операции: если оба числа четные, на выходе нечетное число. Если оба числа нечетные, на выходе тоже нечетное число. Если числа разной четности, на выходе будет четное число. В результате после каждого хода четность суммы всех чисел меняется. За первые 14 шагов (четное число шагов) в результате мы вернемся к четной сумме. Поэтому получить числа 16 и 1 не получится. Получить же 16 и 2 легко. Для этого 15 и 14 заменяем на |15-14|+1=2, 13 и 12 на 2, 11 и 10 на 2, 9 и 8 на 2, 7 и 6 на 2, 5 и 4 на 2, 3 и 2 на 2. Получаем числа 16, семь двоек и одну единицу. Шесть двоек объединяем в пары, каждая из них даст единицу. Получаем 16, одну двойку и четыре единицы. Четыре единицы, разбитые на пары, дадут две единицы, затем эти две единицы дадут одну единицу. Двойка с полученной единицей дадут двойку, после чего получаем идеальную позицию: 16 и 2. Окончательно они дадут |16-2|+1=15.
Имеем несколько рядов полностью с плитками и последний неполный ряд. Чтобы в последнем ряду с 8 плитками, плиток было больше на 6, нужно, чтобы ряд имел 7 плиток , а в последнем ряду с 9 плитками была 1 плитка. В нашем случае 7 - 1 = 6 Пишем уравнение для рядов с 8 плитками (8*а +7), где а - количество полных рядов, 7 - это плитки в последнем ряду. Пишем уравнение для рядов с 9 плитками (9*а +1), где а - количество полных рядов, 1 - это плитка в последнем ряду. Плиток одинаковое число в обоих случаях, 8*а +7 = 9*а +1 , решаем равенство а = 6 - подставляем в уравнения для рядов и находим количество плиток. 8*а +7 = 8*6+7 = 55 плиток 9*а +1 = 9*6 +1 = 55 плиток Условие, что плиток меньше 100 выполняется. ответ: после строительства дома осталось 55 плиток.
Заметим, что всего будет сделано 15 шагов. Сумма всех чисел вначале была четным числом, так как среди них четное число нечетных. Возможные исходы каждой операции: если оба числа четные, на выходе нечетное число. Если оба числа нечетные, на выходе тоже нечетное число. Если числа разной четности, на выходе будет четное число. В результате после каждого хода четность суммы всех чисел меняется. За первые 14 шагов (четное число шагов) в результате мы вернемся к четной сумме. Поэтому получить числа 16 и 1 не получится. Получить же 16 и 2 легко. Для этого 15 и 14 заменяем на |15-14|+1=2, 13 и 12 на 2, 11 и 10 на 2, 9 и 8 на 2, 7 и 6 на 2, 5 и 4 на 2, 3 и 2 на 2. Получаем числа 16, семь двоек и одну единицу. Шесть двоек объединяем в пары, каждая из них даст единицу. Получаем 16, одну двойку и четыре единицы. Четыре единицы, разбитые на пары, дадут две единицы, затем эти две единицы дадут одну единицу. Двойка с полученной единицей дадут двойку, после чего получаем идеальную позицию: 16 и 2. Окончательно они дадут |16-2|+1=15.
ответ: 15
Пишем уравнение для рядов с 8 плитками (8*а +7), где а - количество полных рядов, 7 - это плитки в последнем ряду.
Пишем уравнение для рядов с 9 плитками (9*а +1), где а - количество полных рядов, 1 - это плитка в последнем ряду.
Плиток одинаковое число в обоих случаях, 8*а +7 = 9*а +1 ,
решаем равенство
а = 6 - подставляем в уравнения для рядов и находим количество плиток.
8*а +7 = 8*6+7 = 55 плиток
9*а +1 = 9*6 +1 = 55 плиток
Условие, что плиток меньше 100 выполняется.
ответ: после строительства дома осталось 55 плиток.