. Условие, что выражение равно единице, можно записать так:
(100 + n)k(100 - n)l = 100k + l. Так как правая часть четна, то и левая часть должна быть четна, значит, n четно. Аналогично, левая часть делится на 5, значит, n делится на 5. Значит, n делится на 10. Можно перебрать все 9 возможных вариантов: n = 10, 20, ..., 90. Например, если n = 10, то левая часть делится на 11, что невозможно.
Можно обойтись без перебора: пусть n не делится на 25. Тогда числа 100 - n и 100 + n тоже не делятся на 25. Значит, пятерка входит в разложение левой части на простые множители ровно k + l раз. Но она входит в разложение правой части 2(k + l ) раз -- противоречие. Итак, n делится на 25. Аналогично доказывается, что n делится на 4. Но тогда n делится на 100, что невозможно, ибо 0 < n < 100.
Общие делители чисел 418, 494 и 456 будут возможными вариантами количеств мест в вагоне. Найдем эти общие делители.
418 | 2 209 | 11 19 | 19 1
494 | 2 247 | 13 19 | 19 1
456 | 2 228 | 2 114 | 2 57 | 19 3 | 3 1
Как видно, у этих чисел три общих делителя - это 2, 19 и 38 (2*19) Нам по условию подходит только один из них - это 38, т.к. только он больше 20
Теперь зная количество мест в вагоне найдем количество вагонов для каждого из поездов 1) 418/38=11 (вагонов) в первом поезде 2) 494/38=13 (вагонов) во втором поезде 3) 456/38=12 (вагонов) в третьем поезде
. Условие, что выражение равно единице, можно записать так:
(100 + n)k(100 - n)l = 100k + l. Так как правая часть четна, то и левая часть должна быть четна, значит, n четно. Аналогично, левая часть делится на 5, значит, n делится на 5. Значит, n делится на 10. Можно перебрать все 9 возможных вариантов: n = 10, 20, ..., 90. Например, если n = 10, то левая часть делится на 11, что невозможно.Можно обойтись без перебора: пусть n не делится на 25. Тогда числа 100 - n и 100 + n тоже не делятся на 25. Значит, пятерка входит в разложение левой части на простые множители ровно k + l раз. Но она входит в разложение правой части 2(k + l ) раз -- противоречие. Итак, n делится на 25. Аналогично доказывается, что n делится на 4. Но тогда n делится на 100, что невозможно, ибо 0 < n < 100.
418 | 2
209 | 11
19 | 19
1
494 | 2
247 | 13
19 | 19
1
456 | 2
228 | 2
114 | 2
57 | 19
3 | 3
1
Как видно, у этих чисел три общих делителя - это 2, 19 и 38 (2*19)
Нам по условию подходит только один из них - это 38, т.к. только он больше 20
Теперь зная количество мест в вагоне найдем количество вагонов для каждого из поездов
1) 418/38=11 (вагонов) в первом поезде
2) 494/38=13 (вагонов) во втором поезде
3) 456/38=12 (вагонов) в третьем поезде
ответ: 11, 13 и 12 вагонов соответственно