Математика Сколько натуральных (с единицы) чисел n среди первой 1000 таковы, что (n-1)! делится на n?
Указание. Существует всего чисел от 1 до 1000 включительно.
В качестве ответа введите число.
2) На доске в строку выписаны подряд все натуральные числа от 0 до 2020. Затем производится последовательность шагов: на каждом шаге под каждой парой чисел пишут их сумму, после чего исходную строку стирают. Так, например, после первого шага на доске оказывается написана строка из чисел 1, 3, 5 ... 4039. Процесс повторяют, пока на доске не останется одно число. Докажите, что это число делится на 2020.
1)Ясно, что n = p и n = 2p при удовлетворяют условию, так как (n – 1)! не делится на p².
Легко видеть также, что 7! и 8! не могут делиться на 8² и 9² соответственно.
Докажем, что для остальных nчисло (n – 1)! делится на n². Пусть nимеет хотя бы два различных делителя. Среди чисел 1, ..., n – 1 есть хотя бы n/p – 1 число, кратное p. Если некоторое число p входит в разложения числа n в степени k, то n/p – 1 ≥ 2pk–1 – 1 ≥ 2k – 1 ≥ 2k – 1. Если n не имеет вид 2p, то хотя бы одно из написанных неравенств – строгое. Значит, n/p – 1 ≥ 2k и (n – 1)! делится на p2k. Поскольку это верно при всех p, то (n – 1)! делится на n².
Пусть теперь n = pk. Тогда n/p – 1 = pk–1 – 1. При p ≥ 5, либо p = 3 и k ≥ 3, либо p = 2 и k ≥ 5, это число не меньше 2k. Значит, (n – 1)! делится на n².
Случай n = 16 разбирается непосредственно.
Пошаговое объяснение:
Не забудь подписку и сердичку