Математика В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины Х – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения, построить ее график, найти числовые характеристики случайной величины Х.
1. Сначала нужно составить закон распределения случайной величины X - числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров.
Чтобы это сделать, мы можем найти все возможные комбинации числа импортных телевизоров. Исходя из условия задачи, у нас есть 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Если мы выбираем наудачу 4 телевизора, то число импортных телевизоров может быть от 0 до 4.
2. Теперь мы можем составить многоугольник распределения.
Чтобы построить многоугольник распределения, нам нужно найти вероятность каждого значения X. В данном случае число импортных телевизоров варьируется от 0 до 4.
Вероятность получения каждого значения X равна отношению числа возможных комбинаций, при которых получается данное значение X, к общему числу возможных комбинаций.
Таким образом, многоугольник распределения будет выглядеть следующим образом:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
P(X) | ? | ? | ? | ? | ?
3. Найдем вероятности каждого значения X.
Чтобы найти вероятность для каждого значения X, нужно посчитать число комбинаций, при которых получается это значение X, и поделить его на общее число возможных комбинаций.
- Для X=0: Нам нужно выбрать 4 отечественных телевизора из 5. Это можно сделать C(5,4) способами (где C(n,k) обозначает число сочетаний из n по k). Значит, P(X=0) = C(5,4) / C(8,4) = 5/70 = 1/14.
- Для X=1: Нам нужно выбрать 1 импортный телевизор и 3 отечественных телевизора. Это можно сделать C(3,1) * C(5,3) способами. Значит, P(X=1) = C(3,1) * C(5,3) / C(8,4) = 3/14.
- Для X=2: Нам нужно выбрать 2 импортных телевизора и 2 отечественных телевизора. Это можно сделать C(3,2) * C(5,2) способами. Значит, P(X=2) = C(3,2) * C(5,2) / C(8,4) = 15/56.
- Для X=3: Нам нужно выбрать 3 импортных телевизора и 1 отечественный телевизор. Это можно сделать C(3,3) * C(5,1) способами. Значит, P(X=3) = C(3,3) * C(5,1) / C(8,4) = 5/56.
- Для X=4: Нам нужно выбрать 4 импортных телевизора из 3 импортных телевизоров. Это можно сделать C(3,4) способами. Значит, P(X=4) = C(3,4) / C(8,4) = 0/56 = 0.
Теперь наш многоугольник распределения будет выглядеть следующим образом:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
P(X) | 1/14 | 3/14 | 15/56 | 5/56 | 0
4. Теперь перейдем к функции распределения и ее графику.
Функция распределения (CDF) показывает вероятность получения X <= x для каждого значения x.
Для нашей случайной величины X, функция распределения будет выглядеть следующим образом:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
P(X<=x) | 1/14 | 4/14 | 19/56 | 24/56 | 24/56
График функции распределения будет состоять из отрезков, соединяющих значения P(X<=x).
5. Найдем числовые характеристики случайной величины X.
- Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X (E(X)) может быть найдено, умножив каждое значение X на соответствующую вероятность P(X) и сложив все результаты.
E(X) = (0 * 1/14) + (1 * 3/14) + (2 * 15/56) + (3 * 5/56) + (4 * 0)
= 0 + 3/14 + 30/56 + 15/56 + 0
= 1.080
- Дисперсия случайной величины X (Var(X)) может быть найдена, вычитая квадрат математического ожидания каждого значения X (X - E(X)) из квадратов каждого значения X, умноженного на соответствующую вероятность P(X), и сложив все результаты.
Var(X) = ((0 - 1.080)^2 * 1/14) + ((1 - 1.080)^2 * 3/14) + ((2 - 1.080)^2 * 15/56) + ((3 - 1.080)^2 * 5/56) + ((4 - 1.080)^2 * 0)
= (1.166^2 * 1/14) + (0.080^2 * 3/14) + (0.920^2 * 15/56) + (1.920^2 * 5/56) + (2.920^2 * 0)
= 0.075 + 0.015 + 0.402 + 0.404 + 0
= 0.896
- Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) случайной величины X (SD(X)) равно квадратному корню из дисперсии.
SD(X) = sqrt(Var(X))
= sqrt(0.896)
= 0.947
Таким образом, закон распределения случайной величины Х будет выглядеть как многоугольник с вероятностями 1/14, 3/14, 15/56, 5/56 и 0 для значений X от 0 до 4. Функция распределения будет иметь значение 1/14, 4/14, 19/56, 24/56 и 24/56 для X от 0 до 4. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Х равно 1.080, дисперсия - 0.896, а среднеквадратическое отклонение - 0.947.