Відповідь:
Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.
Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:
v' + 2y' = 0 (1)
y' = v (2)
Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):
v' + 2v = 0
Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:
dv/v = -2dx
Інтегруємо обидві частини:
ln|v| = -2x + C1
де C1 - це стала інтеграції.
Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:
ln|y'| = -2x + C1
Піднесемо обидві частини до експоненти:
|y'| = e^(-2x + C1)
Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:
y' = ±e^(-2x + C1)
Де C1 - це довільна константа.
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:
∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx
y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx
y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx
y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2
де C2 - це інша константа інтегрування.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:
y = ±Ce^(-2x) + D
де C = e^(C1) і D = C2.
Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.
Коли x = 0, ми маємо:
y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0
y'(0) = -2C = 1
Відсилюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.
Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±
Покрокове пояснення:
Трикутники
Геометричні фігури з трьома сторонами
За кутами
Гострокутний трикутник
Прямокутний трикутник
Тупокутний трикутник
За сторонами
Рівносторонній трикутник
Рівнобедрений трикутник
Різносторонній трикутник
Властивості трикутників
Сума кутів в трикутнику
Нерівність у трікутнику
Теорема Піфагора
Теорема синусів
Теорема косинусів
Конструкції трикутників
За заданими довжинами сторін
За заданими довжинами однієї сторони і двох кутів
За заданими мірками кутів
За заданими відношеннями мір кутів
Трикутники та подібність
Подібні трикутники
Коефіцієнт подібності
Властивості подібних трикутників
Трикутники та геометричні центри
Центр тяжіння
Центр описаного кола
Центр вписаного кола
Відповідь:
Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.
Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:
v' + 2y' = 0 (1)
y' = v (2)
Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):
v' + 2v = 0
Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:
dv/v = -2dx
Інтегруємо обидві частини:
ln|v| = -2x + C1
де C1 - це стала інтеграції.
Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:
ln|y'| = -2x + C1
Піднесемо обидві частини до експоненти:
|y'| = e^(-2x + C1)
Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:
y' = ±e^(-2x + C1)
Де C1 - це довільна константа.
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:
∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx
y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx
y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx
y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2
де C2 - це інша константа інтегрування.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:
y = ±Ce^(-2x) + D
де C = e^(C1) і D = C2.
Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.
Коли x = 0, ми маємо:
y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0
y'(0) = -2C = 1
Відсилюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.
Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±
Покрокове пояснення:
Трикутники
Геометричні фігури з трьома сторонами
За кутами
Гострокутний трикутник
Прямокутний трикутник
Тупокутний трикутник
За сторонами
Рівносторонній трикутник
Рівнобедрений трикутник
Різносторонній трикутник
Властивості трикутників
Сума кутів в трикутнику
Нерівність у трікутнику
Теорема Піфагора
Теорема синусів
Теорема косинусів
Конструкції трикутників
За сторонами
За заданими довжинами сторін
За заданими довжинами однієї сторони і двох кутів
За кутами
За заданими мірками кутів
За заданими відношеннями мір кутів
Трикутники та подібність
Подібні трикутники
Коефіцієнт подібності
Властивості подібних трикутників
Трикутники та геометричні центри
Центр тяжіння
Центр описаного кола
Центр вписаного кола