Мишень разделена на зоны 1, 2, 3. За попадание в зону 1 дается 8 очков, в зону 2 – 5 очков, в зону 3 – 3 очка. Для данного стрелка вероятности попадания в зоны 1, 2, 3 равны соответственно 0,2; 0,4; 0,4. Найти закон распределения числа X очков, получаемых стрелком при двух независимых выстрелах, и функцию распределения F (x), построить ее график.
Закон распределения определяет вероятность того, что случайная величина примет определенное значение. В данной задаче мы должны найти закон распределения числа X очков, получаемых стрелком при двух независимых выстрелах.
Функция распределения F(x) - это функция, которая показывает вероятность того, что случайная величина будет меньше или равна определенному значению x.
Теперь приступим к решению задачи.
Обозначим вероятность попадания в зоны 1, 2, 3 как P1, P2, P3 соответственно. Дано, что P1 = 0,2, P2 = 0,4 и P3 = 0,4.
Используя эти вероятности, мы можем найти вероятности того, что стрелок наберет определенное количество очков после двух выстрелов.
Для начала, рассмотрим возможные комбинации, которые приведут к получению определенного количества очков:
- 2 очка можно получить только в случае, если оба выстрела попадут в зону 3. Вероятность такого события равна P3 * P3 = 0,4 * 0,4 = 0,16.
- 3 очка можно получить только в случае, если хотя бы один из выстрелов попадет в зону 3. Здесь есть две возможности: либо первый выстрел попадет в зону 3, а второй - в любую из двух оставшихся зон (1 или 2), либо наоборот. Вероятность такого события равна (P3 * (P1 + P2)) + ((P1 + P2) * P3) = (0,4 * (0,2 + 0,4)) + ((0,2 + 0,4) * 0,4) = 0,44.
- 5 очков можно получить только в случае, если один из выстрелов попадет в зону 2, а второй - в любую из трех оставшихся зон (1, 2 или 3). Здесь также есть две возможности: либо первый выстрел попадет в зону 2, а второй - в любую из трех оставшихся зон (1, 2 или 3), либо наоборот. Вероятность такого события равна (P2 * (P1 + P2 + P3)) + ((P1 + P2 + P3) * P2) = (0,4 * (0,2 + 0,4 + 0,4)) + ((0,2 + 0,4 + 0,4) * 0,4) = 0,68.
- 6 очков можно получить только в случае, если один из выстрелов попадет в зону 3, а второй - в зону 2. Здесь снова есть две возможности: либо первый выстрел попадет в зону 3, а второй - в зону 2, либо наоборот. Вероятность такого события равна (P3 * P2) + (P2 * P3) = (0,4 * 0,4) + (0,4 * 0,4) = 0,32.
- 8 очков можно получить только в случае, если оба выстрела попадут в зону 1. Вероятность такого события равна P1 * P1 = 0,2 * 0,2 = 0,04.
Теперь у нас есть вероятности получения каждого из возможных результатов. Давайте запишем их вместе с количеством очков:
Очки: 2 3 5 6 8
Вероятность: 0,16 0,44 0,68 0,32 0,04
Чтобы построить функцию распределения F(x), нам нужно просуммировать вероятности до определенного значения x.
F(2) = 0,16
F(3) = 0,16 + 0,44 = 0,6
F(5) = 0,16 + 0,44 + 0,68 = 1,28
F(6) = 0,16 + 0,44 + 0,68 + 0,32 = 1,6
F(8) = 0,16 + 0,44 + 0,68 + 0,32 + 0,04 = 1,64
Теперь мы можем построить график функции распределения F(x), где по оси x откладываются очки, а по оси y - вероятность.
*
*
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* * *
* * *
* * *
* * *
2 3 5 6 8
График начинается с нуля и последовательно с каждым значением x увеличивается на соответствующую вероятность.
Надеюсь, это решение понятно и помогло школьнику разобраться в задаче. Если возникают еще вопросы, буду рад помочь!