Математика: Много х + cos х = 1 − sin 2х.

В правой части уравнения 1 представим как (основное тригонометрическое тождество) , получим . Перепишем правую часть в виде Произведем замену. Пусть , тогда, возведя обе части в квадрат, получим откуда , имеемПо т. Виета: - не удовлетворяет условию при |t|≤√2, Возвращаемся к замене Используя формулу , получим ответ: x = (-1)ⁿ · π/4 - π/4 + πk, где n - целые числа....

Много х + cos х = 1 − sin 2х.

Показать ответ

Ответ:

Ками5

16.08.2020 08:57

В правой части уравнения 1 представим как $1=\sin^2x+\cos^2x$ (основное тригонометрическое тождество) , получим $\sin x+\cos x=\sin^2x+\cos^2x-\sin2x$ . Перепишем правую часть в виде $\sin x+\cos x=(\sin x+\cos x)^2-2\sin2x.$

Произведем замену. Пусть $\sin x+\cos x=t(|t|\leq \sqrt{2})$ , тогда, возведя обе части в квадрат, получим $1+\sin2x=t^2$ откуда $\sin2x=t^2-1$ , имеем

$t=t^2-2(t^2-1)\\ t^2+t-2=0$
По т. Виета: t_1=-2

- не удовлетворяет условию при |t|≤√2, t_2=1

Возвращаемся к замене

$\sin x+\cos x=1.$ Используя формулу $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} )$ , получим $\sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4} )=1$
$\sin (x+ \frac{\pi}{4} )= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x+ \frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \underline{x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} +\pi ,k \in \mathbb{Z}}$

ответ: x = (-1)ⁿ · π/4 - π/4 + πk, где n - целые числа.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика