Для решения данного вопроса необходимо воспользоваться основными правилами дифференцирования и формулами гиперболических функций.
Дано: f(z) = sh(z^3−i) / ch(2+i)
Точка z0 = i−1
Шаг 1: Найдем значение функции f(z) в точке z0:
Подставим z0 в функцию f(z):
f(z0) = sh((i-1)^3−i) / ch(2+i)
Шаг 2: Найдем значение производной функции f(z) в точке z0:
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного.
Правило гласит: (f/g)' = (f'g - fg') / g^2
Таким образом, производная функции f(z) равна:
f'(z) = [(sh((i-1)^3−i) * ch(2+i)' ) - (sh((i-1)^3−i)' * ch(2+i))] / (ch(2+i))^2
Для нахождения (i-1)^3−i)' необходимо применить правило дифференцирования сложной функции и формулу дифференцирования степенной функции.
(i-1)^3−i)' = (3*(i-1)^2) - 1
Для поиска значения (i-1)^2 воспользуемся формулой разложения квадрата комплексного числа:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
В данном случае a = i и b = -1:
(i - 1)^2 = i^2 - 2 * i * 1 + 1 = -1 - 2i + 1 = -2i
Для упрощения данного выражения сначала нужно сгруппировать векторы, которые направлены в одном направлении.
У нас есть следующие векторы:
AB→ + CM→ + BC→
Мы видим, что вектор AB→ и вектор BC→ направлены вдоль одной прямой линии (по одному пути), поэтому мы можем их сложить. Получается новый вектор, который является их суммой: AC→.
Теперь у нас остается следующее выражение:
AC→ + CM→
Мы видим, что векторы AC→ и CM→ направлены на разные стороны от точки A. Так как они направлены в разные стороны, мы не можем их сложить. Поэтому выражение остается неизменным и остается как AC→ + CM→.
Итак, ответ на вопрос: упрощенное выражение будет:
Дано: f(z) = sh(z^3−i) / ch(2+i)
Точка z0 = i−1
Шаг 1: Найдем значение функции f(z) в точке z0:
Подставим z0 в функцию f(z):
f(z0) = sh((i-1)^3−i) / ch(2+i)
Шаг 2: Найдем значение производной функции f(z) в точке z0:
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного.
Правило гласит: (f/g)' = (f'g - fg') / g^2
Таким образом, производная функции f(z) равна:
f'(z) = [(sh((i-1)^3−i) * ch(2+i)' ) - (sh((i-1)^3−i)' * ch(2+i))] / (ch(2+i))^2
Перейдем к пошаговому решению:
1. Вычисление (i-1)^3−i:
(i-1)^3 = (i-1) * (i-1) * (i-1) = i^3 - 3*i^2 + 3*i - 1
(i-1)^3−i = (i^3 - 3*i^2 + 3*i - 1) - i = i^3 - 3*i^2 + 2*i - 1
2. Вычисление sh((i-1)^3−i):
sh((i-1)^3−i) = sh(i^3 - 3*i^2 + 2*i - 1)
3. Вычисление ch(2+i):
ch(2+i) = ch(2) * ch(i) - sh(2) * sh(i)
ch(2) = (e^(2) + e^(-2)) / 2 = (7.389 + 0.135) / 2 = 3.762
ch(i) = cos(i) = cosh(1) = (e + e^(-1)) / 2 = (2.718 + 0.367) / 2 = 1.543
sh(2) = sinh(2) = (e^2 - e^(-2)) / 2 = (7.389 - 0.135) / 2 = 3.627
sh(i) = sin(i) = sinh(1) = (e - e^(-1)) / 2 = (2.718 - 0.367) / 2 = 1.176
ch(2+i) = 3.762 * 1.543 - 3.627 * 1.176 = 5.805 - 4.268 = 1.537
4. Вычисление ch(2+i)':
ch(2+i)' = ch'(2+i) = sinh(2+i) = sinh(2) * cos(i) + cosh(2) * sin(i)
sinh(2) = (e^2 - e^(-2)) / 2 = (7.389 - 0.135) / 2 = 3.627
cosh(2) = (e^(2) + e^(-2)) / 2 = (7.389 + 0.135) / 2 = 3.762
cos(i) = cosh(1) = (e + e^(-1)) / 2 = (2.718 + 0.367) / 2 = 1.543
sin(i) = sinh(1) = (e - e^(-1)) / 2 = (2.718 - 0.367) / 2 = 1.176
ch(2+i)' = 3.627 * 1.543 + 3.762 * 1.176 = 5.597 + 4.42 = 10.017
5. Вычисление sh((i-1)^3−i)':
sh((i-1)^3−i)' = sh'((i-1)^3−i) = cosh((i-1)^3−i) * ((i-1)^3−i)'
cosh((i-1)^3−i) = cosh(i^3 - 3*i^2 + 2*i - 1) = cosh(-3*i^2 + 2*i - 1)
Для нахождения (i-1)^3−i)' необходимо применить правило дифференцирования сложной функции и формулу дифференцирования степенной функции.
(i-1)^3−i)' = (3*(i-1)^2) - 1
Для поиска значения (i-1)^2 воспользуемся формулой разложения квадрата комплексного числа:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
В данном случае a = i и b = -1:
(i - 1)^2 = i^2 - 2 * i * 1 + 1 = -1 - 2i + 1 = -2i
(i-1)^3−i)' = (3*(-2i)) - 1 = -6i -1
sh'((i-1)^3−i) = cosh(-3*i^2 + 2*i - 1) * (-6i -1)
sh((i-1)^3−i)' = cosh(-3i^2 + 2i - 1) * (-6i -1)
6. Подставляем все вычисленные значения в формулу производной функции f'(z):
f'(z) = [(sh((i-1)^3−i) * ch(2+i)' ) - (sh((i-1)^3−i)' * ch(2+i))] / (ch(2+i))^2
f'(z) = [(sh(-3i^2 + 2i - 1) * 10.017) - ((cosh(-3i^2 + 2i - 1) * (-6i -1)) * 1.537)] / (1.537)^2
7. Вычисляем выражение в скобках:
sh(-3i^2 + 2i - 1) = sh(-3 * (-2i) + 2i - 1) = sh(6i + 2i - 1) = sh(8i - 1)
cosh(-3i^2 + 2i - 1) = cosh(-3 * (-2i) + 2i - 1) = cosh(6i + 2i - 1) = cosh(8i - 1)
8. Вычисляем значение производной функции f'(z) в точке z0:
f'(z0) = [(sh(8i - 1) * 10.017) - ((cosh(8i - 1) * (-6i -1)) * 1.537)] / (1.537)^2
Далее, необходимо вычислить только мнимую часть этого выражения и округлить до трех цифр после десятичной точки.
Итак, ответ: мнимая часть значения производной функции f(z) в точке z0=i−1 равна XXX (округленная до трех цифр после десятичной точки).
У нас есть следующие векторы:
AB→ + CM→ + BC→
Мы видим, что вектор AB→ и вектор BC→ направлены вдоль одной прямой линии (по одному пути), поэтому мы можем их сложить. Получается новый вектор, который является их суммой: AC→.
Теперь у нас остается следующее выражение:
AC→ + CM→
Мы видим, что векторы AC→ и CM→ направлены на разные стороны от точки A. Так как они направлены в разные стороны, мы не можем их сложить. Поэтому выражение остается неизменным и остается как AC→ + CM→.
Итак, ответ на вопрос: упрощенное выражение будет:
AC→ + CM→