Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. ответ дайте в км/ч.
Пусть \( v \) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
Также, пусть \( t \) - время в пути в против течения и \( t - 2 \) - время в пути в пользу течения.
Скорость движения лодки против течения будет равна сумме скорости лодки в неподвижной воде и скорости течения:
\( v + 4 \) (км/ч).
Скорость движения лодки в пользу течения будет равна разности скорости лодки в неподвижной воде и скорости течения:
\( v - 4 \) (км/ч).
Теперь у нас есть два уравнения, связывающие расстояние, скорость и время в пути:
1. \( (v + 4) \cdot t = 140 \). В путь против течения лодка прошла 140 км.
2. \( (v - 4) \cdot (t - 2) = 140 \). В путь пользу течения лодка также прошла 140 км, но на 2 часа меньше, чем в путь против течения.
Теперь решим систему уравнений методом подстановки.
Сначала решим первое уравнение относительно \( t \):
\( t = \frac{{140}}{{v + 4}} \).
Подставим это значение \( t \) во второе уравнение:
\( (v - 4) \cdot \left(\frac{{140}}{{v + 4}} - 2\right) = 140 \).
Раскроем скобки:
\( (v - 4) \cdot \left(\frac{{140 - 2(v + 4)}}{{v + 4}}\right) = 140 \).
Упростим выражение:
\( (v - 4) \cdot \left(\frac{{140 - 2v - 8}}{{v + 4}}\right) = 140 \).
Далее, умножим обе части уравнения на \( v + 4 \) для избавления от дробей:
\( (v - 4) \cdot (140 - 2v - 8) = 140 \cdot (v + 4) \).
Упростим выражение:
\( (v - 4) \cdot (132 - 2v) = 140v + 560 \).
Раскроем скобки:
\( 132v - 2v^2 - 528 + 8v = 140v + 560 \).
Упорядочим слагаемые:
\( -2v^2 + 132v + 8v - 140v - 132v - 528 + 560 = 0 \).
Упростим выражение:
\( -2v^2 - 232v + 32 = 0 \).
Разделим уравнение на -2, чтобы коэффициент при \( v^2 \) был 1:
\( v^2 + 116v - 16 = 0 \).
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта.
Дискриминант \( D \) равен: \( D = b^2 - 4ac \).
Где \( a = 1 \), \( b = 116 \), \( c = -16 \).
Рассчитаем дискриминант:
\( D = 116^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 13456 \).
Так как \( D > 0 \), у нас есть два корня квадратного уравнения:
\( v_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} \) и \( v_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} \).
Рассчитаем корни:
\( v_1 = \frac{{-116 + \sqrt{13456}}}{{2 \cdot 1}} \approx 3.281 \) км/ч.
\( v_2 = \frac{{-116 - \sqrt{13456}}}{{2 \cdot 1}} \approx -119.281 \) км/ч.
Ответ: скорость лодки в неподвижной воде составляет около \( 3.281 \) км/ч.