Войти Регистрация Спроси ai-bota

Может ли число вида 1999^n-1 заканчиваться на 1999 нулей? ответ обязательно обосновать

Показать ответ

Ответ:

ЛизаНагайцева03

14.07.2020 23:30

Может.

Подготовительный факт: рассмотрим бином Ньютона (a, b - целые числа)
$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$
Преобразуем:
$(a+b)^n=C_n^0b^n+C_n^1ab^{n-1}+\sum\limits_{k=2}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}=\\=b^n+nab^{n-1}+a^2\sum\limits_{k=2}^{n}C_n^ka^{k-2}b^{n-k}=a^2\cdot A+nab^{n-1}+b^n$
"А" в последнем равенстве тоже целое.

Теперь можно приступить к решению. Рассмотрим последовательность $x_n=1999^{10^n}$
$x_1=(2000-1)^{10}=2000^2\cdot a_1-10\cdot2000+1=10^4\cdot b_1+1\\
x_2=(10^4\cdot b_1+1)^{10}=10^8\cdot a_2+10^5\cdot b_1+1=10^5\cdot b_2+1\\
x_3=(10^5\cdot b_2+1)^{10}=10^{10}\cdot a_3+10^6\cdot b_2+1=10^6\cdot b_3+1$
Все числа ai, bi - целые, явный вид которых не важен.
И вообще, если
$x_k=10^{k+3}b_k+1\\
x_{k+1}=10^{2k+6}a_{k+1}+10^{k+4}b_k+1=10^{k+4}\cdot b_{k+1}+1$

Итак, 1999^(10^k) - 1 кончается не менее, чем на (k + 3) нуля. Тогда, выбрав k = 1996, получаем желаемое.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

alena1706

06.09.2021 07:03

Как решить уравнение х+4целых7/19=6целых2/19...

TuttiFrutti56

06.09.2021 07:03

Как писать дробные числа на клавишах тебефона...

1охико1

06.09.2021 07:03

Сколько будет 156733589 : 3670975 - 26479? !...

Информатик111111

06.09.2021 07:03

Решение и ответ уровнения модулем (у+5)=3...

tanya240102

06.09.2021 07:03

Девочка хочет изготовить три браслета.у нее есть красная,черная,и синяя тесемки и три бусинки-желтого,зеленого,белого цвета.сколько различных браслетов может быть изготовлено?...

SuperSem2003

06.09.2021 07:03

Из чисел 7,5,21,15 составили равенства. какое из них предстовляет верную пропорцию?...

baktybaevalbina

11.11.2021 20:40

Площадь спортивного комплекса равна 9450 кв м. площади отдельных частей комплекса указаны на плане. а) на сколько площадь бассейна меньше площади кактка? б)что занимает большую площадь...

sotskova20041

11.11.2021 20:40

Для праздника родители купили 48 шоколадных конфет что на 29 больше чем ирисок сколько всего конфет купили родители? во время субботника во дворе посадили 14 липок что на 6 больше...

ISMAL2009

11.11.2021 20:40

Вдвух флягагах 42 л молока. в первой фляге молокав 1 целую четыри пятых раза меньше,чем во второй. сколько литров молока викаждой фляге?...

akirienko2003

11.11.2021 20:40

Рабочий выполнил 3/ 8 работы за 9 часов за какое время он выполнит 7/12работы если будет работать с той же производительностью...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку