Муха ползает по поверхности куба вдоль красной линии от точки A к точке B. Определи длину проделанной мухой дороги, если площадь грани куба равна 4 квадратным единицам измерения.
ответ: длина пути мухи равна
единицам измерения.
Подарок упакован в коробку формы прямоугольного параллелепипеда с квадратом в основании. Длина обёрточной ленты равна 70 см.
Если обернуть коробку, как на рисунке a, то не хватит 10 см.
Если обернуть коробку, как на рисунке b, то на завязывание банта останется 10 см.
Какова длина стороны основания коробки?
см.
Какова высота коробки?
см.
если x > 0, то x + 1/x> 2.
1.2. а) Докажите, что x(1 − x) 6 1/4. б) Докажите, что
x(a − x) 6 a
2/4.
1.3. Докажите, что для чисел a, b, c, заключённых между 0 и 1, не могут одновременно выполняться неравенства
a(1 − b) > 1/4, b(1 − c) > 1/4 и c(1 − a) > 1/4.
1.4. При каком x функция f(x) = (x − a1)
2 + . . .+ (x − an)
2
принимает наименьшее значение?
1.5. Пусть x, y, z — положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите, что 1/x + 1/y + 1/z > 9.
1.6. Докажите, что расстояние от точки (x0, y0) до прямой ax + by + c = 0 равно |ax0 + by0 + c|
p
a
2 + b
2
.
1.7. Пусть a1, . . ., an — неотрицательные числа, причём
a1 + . . . + an = a. Докажите, что
a1a2 + a2a3 + . . . + an−1an 6 a
2/4.
Пошаговое объяснение:
Обозначим сумму возрастов 11-ти основных игроков за x, сумму возрастов всех 16-ти игроков за y+56, сумму возрастов пяти запасных игроков за z.
а) Получаем равенство: дробь, числитель — y плюс 56, знаменатель — 16 = дробь, числитель — x, знаменатель — 11 . Перепишем его по-другому: 11(y плюс 56)=16x. 11 и 16 взаимно просты, поэтому x должно делиться на 11, а y+56 должно делиться на 16. Значит, x=11n, y=16k+8, где n,k - натуральные числа. После упрощений получаем равенство: n=k плюс 4. Получается, что x=11k плюс 44, y=16k плюс 8. Пусть k=21, тогда x=275, y=344. Тогда игроки основного состава могут иметь такой возраст: 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30 лет. Запасные тогда могут иметь возраст: 16,17,18,34,40 лет. Средний возраст и основного состава и всей команды равен 25 лет. б) Получаем равенство: дробь, числитель — y плюс 56, знаменатель — 16 минус дробь, числитель — x, знаменатель — 11 =5. Перепишем его по-другому: 11(y минус 24)=16x. 11 и 16 взаимно просты, поэтому x должно делиться на 11, а y-24 должно делиться на 16. Значит, x=11n, y=16k+8, где n,k - натуральные числа. После упрощений получаем равенство: n=k минус 1. Получается, что x=11k минус 11, y=16k плюс 8. Пусть k=22, тогда x=231, y=360. Тогда игроки основного состава могут иметь такой возраст: 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26 лет. Запасные тогда могут иметь возраст: 31,37,38,39,40 лет. Средний возраст основного состава равен 21 году, средний возраст всей команды равен 26 лет. в) Запишем разность между средним возрастом всей команды и средним возрастом ее основного состава в виде: дробь, числитель — x плюс z, знаменатель — 16 минус дробь, числитель — x, знаменатель — 11 = дробь, числитель — 11z минус 5x, знаменатель — 11 умножить на 16 . Она будет наибольшей, если z максимально возможное, а x минимально возможное. Пусть запасные имеют возраст 36,37,38,39,40 лет, а возраст основного состава таков: 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26. Тогда z=38 умножить на 5=190, x=21 умножить на 11=231. Искомая разность тогда равна 5,3125.
ответ: а) да; б) да; в) 5,3125.