На доске были написаны несколько целых чисел. несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 5. а) может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 24, если сначала по одному разу были написаны от 3 до 14? б) может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 45, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 53 до 158 включительно?
а) Пусть изначально на доске были написаны числа от 3 до 14.
Теперь давайте посмотрим, удалялись ли числа так, чтобы их сумма делилась на 5. Мы знаем, что сумма чисел от 1 до 14 равна 15 + 14 + ... + 3 = (15 + 3) + (14 + 4) + ... + (9 + 6) + 8 + 7 + 5 + 2 + 10 + 11 + 13 + 12 = 9 * (15 + 3)/2 + 8 + 7 + 10 + 11 + 13 + 12 = 9 * 9 + 8 + 7 + 10 + 11 + 13 + 12 = 81 + 8 + 7 + 10 + 11 + 13 + 12 = 142.
Теперь предположим, что мы стираем два числа, сумма которых делится на 5 так, чтобы осталась сумма всех оставшихся чисел равной 24.
Давайте посмотрим, какие попарные суммы чисел от 1 до 14 делятся на 5:
1 + 2 = 3 (не делится на 5)
1 + 3 = 4 (не делится на 5)
...
1 + 14 = 15 (не делится на 5)
2 + 3 = 5 (делится на 5)
2 + 4 = 6 (не делится на 5)
...
2 + 13 = 15 (не делится на 5)
...
8 + 13 = 21 (не делится на 5)
9 + 10 = 19 (не делится на 5)
9 + 11 = 20 (делится на 5)
...
11 + 14 = 25 (делится на 5)
12 + 13 = 25 (делится на 5)
Мы видим, что есть две пары чисел (2 + 11 = 13 и 12 + 13 = 25) сумма которых делится на 5. Если мы удалим одну из этих пар, то оставшиеся числа все вместе будут равны 142 - 13 = 129 или 142 - 25 = 117. Оба эти значения больше 24, поэтому невозможно получить сумму 24 в результате удаления двух чисел.
Итак, ответ на первую часть вопроса: невозможно, чтобы сумма всех оставшихся на доске чисел равнялась 24 при условии, которое описано.
б) Пусть изначально на доске были написаны числа от 53 до 158.
Теперь давайте посмотрим, удалялись ли числа так, чтобы их разность была равна 45. Мы знаем, что сумма чисел от 53 до 158 равна (53 + 158) + (54 + 157) + ... + (103 + 108) + 104 + 107 + 105 + 106 = 56 * (53 + 158)/2 + 104 + 107 + 105 + 106 = 56 * 105 + 104 + 107 + 105 + 106 = 5880 + 104 + 107 + 105 + 106 = 6299.
Теперь предположим, что на доске остались ровно два числа, разность между которыми равна 45.
Давайте посмотрим, какие попарные разности чисел от 53 до 158 равны 45:
53 - 98 = -45
...
53 - 128 = -75
53 - 133 = -80
...
53 - 158 = -105
54 - 99 = -45
...
54 - 128 = -74
54 - 133 = -79
...
54 - 158 = -104
...
103 - 158 = -55
Мы видим, что есть множество пар чисел с разностью 45. Заметим, что остаток при делении на 5 для каждого из этих чисел -105, -104, -100, -98, ..., -55 будет одинаковым. То есть, разность этих чисел всегда будет делиться на 5. Следовательно, в результате удаления двух чисел с описанными свойствами, останется сумма чисел, которая также будет делиться на 5.
Итак, ответ на вторую часть вопроса: невозможно, чтобы на доске остались ровно два числа, разность между которыми равна 45 при условии, которое описано.
Надеюсь, мой ответ был понятен. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!