На доске написаны числа: 1, 2, 3, 4, 5 ,6 , 7, 8, 9, 10. какое наименьшее количество чисел (и какие именно числа) нужно стереть с доски так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы так, чтобы произведения всех чисел в группах были равны?

Раскладываем составные числа на простые множители.
4=2•2; 6=2•3; 8=2•2•2; 9=3•3; 10=2•5;

Заменяем вместо составных пишем то, что разложили. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Получили
1,2,3,(2•2),5,(2•3),7,(2•2•2),(3•3),(5•2);

Всего 8 двоек; 4 тройки; 2 пятерки; 1 единица и 1 семерка. Единица при умножении не изменит произведение, 7 изменит, поэтому стираем 7. Остальные числа пополам делим, 8:2=4двойки и 4:2=3тройки; 2:2=1 по пятерке; смотрим где разделить;

7 стёрли; осталось;
1,2,3,(2•2), 5,(2•3),(2•2•2),(3•3),(5•2);

1•2•3•(2•2)•5•(2•3)=(2•2•2)•(3•3)•(5•2);

1•2•3•4•5•6=8•9•10

720=720;

ответ: нужно стереть одно число 7.