На доске записаны числа 11 и 13 . за один ход можно дописать одно число, равное сумме каких-то двух уже записанных на доске различных чисел. можно ли за несколько таких ходов получить число 2015 ?

Напишем уравнение как произведение скобок с корнями.
x^3 - 20x^2 + mx - 540 = 0
(x - x1)(x - x2)(x - x3) = 0
Раскрываем скобки
x^3 - x^2*(x1 + x2 + x3) + x*(x1*x2 + x2*x3 + x1*x3) - x1*x2*x3 = 0
Коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны.
{ x1 + x2 + x3 = 20
{ x1*x2 + x2*x3 + x1*x3 = m
{ x1*x2*x3 = 540
По сути, это теорема Виета для кубического уравнения.
Кроме того, мы знаем, что корни - это стороны прям-ного тр-ника:
{ x1^2 + x2^2 = x3^2
Это значит, что x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, и тогда m > 0.
Обозначим левую часть как функцию.
y = x^3 - 20x^2 + mx - 540
Можно взять производную и найти экстремумы этой функции.
Очевидно, чтобы у него было 3 действительных корня, максимум должен быть положителен, а минимум отрицателен.
3x^2 - 40x + m = 0 - это уравнение должно иметь 2 корня.
D/4 = 20^2 - 3m = 400 - 3m > 0; m < 400/3
Но мы помним, что m > 0. Если m целое, то m ∈ [1; 133]
x1 = (20 - √(400-3m))/3 - максимум
x2 = (20 + √(400-3m))/3 - минимум
И должно быть y(x1) > 0; y(x2) < 0
Возможные значения m, при которых D есть точный квадрат.
m = 13; D = 361 = 19^2; x1 = 1/3; y1 = -537,851 < 0; x2 = 13; y2 = -1554
m = 37; D = 289 = 17^2; x1 = 1; y1 = -522 < 0; x2 = 37/3; y2 = -1249,851
m = 48; D = 256 = 16^2; x1 = 4/3; y1 = -509,185 < 0; x2 = 12; y2 = -1116
m = 68; D = 196 = 14^2; x1 = 2; y1 = -476 < 0; x2 = 34/3; y2 = -882,518
m = 77; D = 169 = 13^2; x1 = 7/3; y1 = -456,518 < 0; x2 = 11; y2 = -782
m = 93; D = 121 = 11^2; x1 = 3; y1 = -414 < 0; x2 = 31/3; y2 = -611,185
m = 100; D = 100 = 10^2; x1 = 10/3; y1 = -391,851 < 0; x2 = 10; y2 = -540
m = 112; D = 64 = 8^2; x1 = 4; y1 = -348 < 0; x2 = 28/3; y2 = -423,851
m = 117; D = 49 = 7^2; x1 = 13/3; y1 = -327,185 < 0; x2 = 9; y2 = -378
m = 125; D = 25 = 5^2; x1 = 5; y1 = -290 < 0; x2 = 25/3; y2 = -308,518
m = 128; D = 16 = 4^2; x1 = 16/3; y1 = -274,518 < 0; x2 = 8; y2 = -284
m = 132; D = 4 = 2^2; x1 = 6; y1 = -252 < 0; x2 = 22/3; y2 = -253,185
m = 133; D = 1 = 1^2; x1 = 19/3; y1 = -245,851 < 0; x2 = 7; y2 = -246
Во всех этих случаях максимум отрицателен, значит, если m > 0, то уравнение имеет 1 корень.
ответ: решений нет.

X- число вопросов   P(x) - вероятность сдать за x вопросов

x=3   
P(3)=(25/30)*(24/29)*(23/28)=0.5665    
Все три вопроса ответил

x=4  
P(4)=((25/30)*(24/29)*(5/28)+(25/30)*(5/29)*(24/28)+(5/30)*(25/29)*(24/28))*(23/27)=0.315  
В первых 3 вопросах ответил 2 и ответил 4

x=5  
P(5)=((25/30)*(24/29)*(5/28)*(4/27)+(25/30)*(5/29)*(24/28)*(4/27)+(25/30)*(5/29)*(4/28)*(24/27)+(5/30)*(25/29)*(24/28)*(4/27)+(5/30)*(25/29)*(4/28)*(24/27)+(5/30)*(4/29)*(25/28)*(24/27))*(23/26)=0.0968 
В первых 4 вопросах ответил 2 и ответил 5

x=6
P(6)=((25/30)*(24/29)*(5/28)*(4/27)*(3/26)+(25/30)*(5/29)*(24/28)*(4/27)*(3/26)+(25/30)*(5/29)*(4/28)*(24/27)*(3/26)+(25/30)*(5/29)*(4/28)*(3/27)*(24/26)+(5/30)*(25/29)*(24/28)*(4/27)*(3/26)+(5/30)*(25/29)*(4/28)*(24/27)*(3/26)+(5/30)*(25/29)*(4/28)*(3/27)*(24/26)+(5/30)*(4/29)*(25/28)*(24/27)*(3/26)+(5/30)*(4/29)*(25/28)*(4/27)*(24/26)+(5/30)*(4/29)*(3/28)*(25/27)*(24/26))*(23/25)=0.02
В первых 5 вопросах ответил 2 и ответил 6

Вероятность не сдать 1-(P(3)+P(4)+P(5)+P(6)) = 0.0022

Матожидание
M= 0.5665*3+0.315*4+0.0968*5+0.02*6=3.5635

Дисперсия
D= 0.5665*(3.5635-3)^2+0.315*(4-3.5635)^2+0.0968*(5-3.5635)^2+0.02*(6-3.5635)^2=0.55838

Среднеквадратичное отклонение 
Q = √D= 0.747