На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. нажатие на одну из кнопок переводит число n, написанное на экране, в 2n–1, а на другую — в 2n+1. пока оператор отсутствовал, хулиган вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода васи) сможет определить, в каком порядке вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране: а) целое; б) произвольное.
олимпиада эйлера,
Пошаговое объяснение:
Сумма цифр 1 числа - это 2 число. Оно имеет такой же остаток от деления на 3, как и 1 число.
Сумма цифр 2 числа - это 3 число. Оно тоже имеет остаток от деления на 3, равный остатку 1 и 2 числа.
Это значит, что сумма всех трех чисел должна делиться на 3.
Поэтому:
а) Сумма 420 - может быть. Например, 410, 5, 5.
б) Сумма 419 - не может быть.
в) Сумма всех 3 чисел не больше 27.
Это во-первых, все однозначные числа. Наибольшее как раз:
9; 9; 9 : 9+9+9 = 27. Это 9 чисел.
Во-вторых, двузначные. Подходят такие числа:
10; 1; 1 : 10+1+1 = 12
11; 2; 2 : 11+2+2 = 15
12; 3; 3 : 12+3+3 = 18
13; 4; 4 : 13+4+4 = 21
14; 5; 5 : 14+5+5 = 24
15; 6; 6 : 15+6+6 = 27
20; 2; 2 : 20+2+2 = 24
21; 3; 3 : 21+3+3 = 27
Всего 8 чисел.
Итого 9 + 8 = 17 троек.
Пошаговое объяснение:
Допустим, что каждая машина должна была перевезти х тонн груза, значит количество машин было запланировано 60/х.
Когда каждая машина загрузила по х - 0,5 тонн груза, то понадобилось 60/(х - 0,5) машин.
По условию задачи составляем следующее уравнение:
60/х + 4 = 60/(х - 0,5),
(60 + 4 * х)/х = 60/(х - 0,5),
60 * х - 30 + 4 * х² - 2 * х = 60 * х,
4 * х² - 2 * х - 30 = 0.
Дискриминант уравнения будет равен:
(-2)² - 4 * 4 * (-30) = 484.
Так как х может быть только положительным, уравнение имеет единственное решение:
х = (2 + 22)/8 = 3.
Если по плану каждая машина должна была загрузить по 3 т груза, то машин планировалось:
60 : 3 = 20.
(ответ 20)