По дороге зимней, скучной Тройка борзая бежит, Колокольчик однозвучный Утомительно гремит. Что-то слышится родное В долгих песнях ямщика: То разгулье удалое, То сердечная тоска Ни огня, ни черной хаты, Глушь и снег На встречу мне Только версты полосаты Попадаются одне... Скучно, грустно завтра, Нина, Завтра к милой возвратясь, Я забудусь у камина, Загляжусь не наглядясь. Звучно стрелка часовая Мерный круг свой совершит, И, докучных удаляя, Полночь нас не разлучит. Грустно, Нина: путь мой скучен, Дремля смолкнул мой ямщик, Колокольчик однозвучен, Отуманен лунный лик.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
Пусть
, получим характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это![y_1=\cos 5x,~ y_2=\sin5x](/tpl/images/0321/5604/f171d.png)
Общее решение однородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:
Число
принимает значение
, это число является корнем характеристическое уравнение
. Кратность k=1
Частное решение будем искать в виде:
Вычислим для нее производную второго порядка
Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:
Приравниваем коэффициенты при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:
Частное решение:![y^{**}=6x\sin 5x-5x^2\cos 5x](/tpl/images/0321/5604/02773.png)
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: